Сложность: 2
Классы: 5,6,7

В Лесогории живут только эльфы и гномы. Гномы лгут, говоря про своё золото, а в остальных случаях говорят правду. Эльфы лгут, говоря про гномов, а в остальных случаях говорят правду. Однажды два лесогорца сказали:
А: Всё....

Сложность: 2
Классы: 5,6,7

В Лесогории живут только эльфы и гномы. Гномы лгут, говоря про своё золото, а в остальных случаях говорят правду. Эльфы лгут, говоря про гномов, а в остальных случаях говорят правду. Однажды два лесогорца сказали:
А: Всё моё золото я украл у Дракона.
Б: Ты лжешь.
Определите, эльфом или гномом является каждый из них.


Решение
Предположим, что А эльф. Тогда он сказал правду, а Б солгал. Но ни гномы, ни эльфы не лгут, говоря про эльфов. Значит, А гном. Говоря про золото, он солгал. Поэтому Б сказал про А правду. Это мог сделать только гном.

Ответ
Оба гномы.

Сложность: 3-
Классы: 6,7

И сказал Кощей Ивану-Царевичу: «Жить тебе до завтра. Утром явишься пред мои очи, задумаю я три цифры — x, y, z. Назовешь ты мне три числа — a, b, c. Выслушаю я тебя и скажу, чему равно ax by cz. Не отгадаешь цифры x, y, z — гол....

Сложность: 3-
Классы: 6,7

И сказал Кощей Ивану-Царевичу: «Жить тебе до завтра. Утром явишься пред мои очи, задумаю я три цифры — x, y, z. Назовешь ты мне три числа — a, b, c. Выслушаю я тебя и скажу, чему равно ax by cz. Не отгадаешь цифры x, y, z — голову с плеч долой». Запечалился Иван-Царевич, пошёл думу думать. Как ему помочь?

Подсказка
Заметьте, Кощей задумал не числа, а цифры.

Решение
Поскольку Кощей задумал цифры, Иван-Царевич может назвать, например, числа 100, 10 и 1.

Сложность: 2
Классы: 5,6
В каком году установлен памятник Юрию Долгорукому, если в записи этого числа последняя цифра на единицу меньше предыдущей и при зачеркивании первой и последней цифры получается наибольшее двузначное число с суммой цифр 14?
....

Сложность: 2
Классы: 5,6
В каком году установлен памятник Юрию Долгорукому, если в записи этого числа последняя цифра на единицу меньше предыдущей и при зачеркивании первой и последней цифры получается наибольшее двузначное число с суммой цифр 14?

Ответ
В 1954 г.

Сложность: 2
Классы: 7,8,9

На экране компьютера горит число, которое каждую минуту увеличивается на 102. Начальное значение числа 123. Программист Федя имеет возможность в любой момент изменять порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он д....

Сложность: 2
Классы: 7,8,9

На экране компьютера горит число, которое каждую минуту увеличивается на 102. Начальное значение числа 123. Программист Федя имеет возможность в любой момент изменять порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он добиться того, чтобы число никогда не стало четырёхзначным?

Решение
Один из способов: как только последняя цифра становится равной 1 или 2, поменять порядок цифр так, чтобы она стала первой цифрой. После этого Федя может спокойно пропускать до 7 увеличений, а последняя цифра станет равной 1 или 2 не позднее, чем после 5 увеличений. Значит, Федя всегда может вовремя уменьшить число.

Ответ
Может.

Сложность: 2
Классы: 6,7,8

Незнайка взял у Пилюлькина книжку и сосчитал, сколько понадобилось цифр, чтобы пронумеровать все страницы, начиная с 1-й. У него получилось 100 цифр. Могло ли так быть, или Незнайка ошибся? Если могло, ск....

Сложность: 2
Классы: 6,7,8

Незнайка взял у Пилюлькина книжку и сосчитал, сколько понадобилось цифр, чтобы пронумеровать все страницы, начиная с 1-й. У него получилось 100 цифр. Могло ли так быть, или Незнайка ошибся? Если могло, скажите, сколько было страниц, если не могло — объясните почему.

Подсказка
Заметьте, номер последней страницы — двузначное число. Почему?

Решение
При этих условиях номер последней страницы — двузначное число (сумма цифр во всех двузначных и однозначных числах равна 9 90×2 > 100). Но все однозначные страницы дадут 9 цифр, т.е. нечётное число, а добавление любого количества страниц с двузначным номером прибавит чётное число цифр, т.е. оставит эту сумму нечётной, т.е. никак не равной 100. Значит, Незнайка ошибся.

Ответ
Незнайка ошибся.

Сложность: 2
Классы: 6,7,8

Как разложить по семи кошелькам 127 рублевых бумажек так, чтобы любую сумму от 1 до 127 рублей можно было бы выдать, не открывая кошельков?

Решение
127 бумажек надо разложить так: 1 2 4 8 16....

Сложность: 2
Классы: 6,7,8

Как разложить по семи кошелькам 127 рублевых бумажек так, чтобы любую сумму от 1 до 127 рублей можно было бы выдать, не открывая кошельков?

Решение
127 бумажек надо разложить так: 1 2 4 8 16 32 64.

Сложность: 2
Классы: 5,6

а) Может ли число, составленное только из четвёрок, делиться на число, составленное только из троек?
б) А наоборот?


Подсказка


Решение
а) Например, 444444 делится на 33.
б) Число,....

Сложность: 2
Классы: 5,6

а) Может ли число, составленное только из четвёрок, делиться на число, составленное только из троек?
б) А наоборот?


Подсказка


Решение
а) Например, 444444 делится на 33.
б) Число, составленное из троек, нечётно, следовательно, не может делиться на чётное число.


Ответ
а) Может; б) не может.

Сложность: 2
Классы: 5,6

Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.

Подсказка
Чему может быть равна последняя цифра искомого числа.

Решение
Число кратно 5, значит, его последняя ....

Сложность: 2
Классы: 5,6

Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.

Подсказка
Чему может быть равна последняя цифра искомого числа.

Решение
Число кратно 5, значит, его последняя цифра – 0 или 5. Если бы последняя цифра была 0, то все число было бы 0, а мы ищем натуральные числа. Значит, последняя цифра была 5, а все число 25.

Ответ
5.

Сложность: 2
Классы: 6,7

Из числа 1234567...5657585960 вычеркнуть 100 цифр так, чтобы оставшееся число было: а) наименьшим; б) наибольшим.

Решение
а) Так как надо найти наименьшее число, то вычеркиваем 100 наибольших цифр, чтобы чис....

Сложность: 2
Классы: 6,7

Из числа 1234567...5657585960 вычеркнуть 100 цифр так, чтобы оставшееся число было: а) наименьшим; б) наибольшим.

Решение
а) Так как надо найти наименьшее число, то вычеркиваем 100 наибольших цифр, чтобы число начиналось с нулей.
Первоначальное число содержит 111 цифр, то есть останется 11 цифр: 00000123450 = 123450.
б) Наибольшее число начинается с наибольшего числа девяток (их может не больше пяти), это из первых пяти десятков, шестая цифра должна быть наибольщей из тех, сзади которых остаётся еще 5 цифр. Такой является цифра 7.


Ответ
а) 00000123450; б) 99999785960.

Сложность: 2
Классы: 4,5

Отличник Поликарп составлял максимальное пятизначное число, которое состоит из различных нечётных цифр. Двоечник Колька составлял минимальное пятизначное число, которое состоит из различных чётных цифр. Какие числа должны были со....

Сложность: 2
Классы: 4,5

Отличник Поликарп составлял максимальное пятизначное число, которое состоит из различных нечётных цифр. Двоечник Колька составлял минимальное пятизначное число, которое состоит из различных чётных цифр. Какие числа должны были составить Поликарп и Колька?

Ответ
97531 и 20468.

Сложность: 2
Классы: 5,6,7

Я купил лотерейный билет, у которого сумма цифр его пятизначного номера оказалась равна возрасту моего соседа. Определите номер этого билета, если известно, что мой сосед без труда решил эту задачу.

По....

Сложность: 2
Классы: 5,6,7

Я купил лотерейный билет, у которого сумма цифр его пятизначного номера оказалась равна возрасту моего соседа. Определите номер этого билета, если известно, что мой сосед без труда решил эту задачу.

Подсказка
Заметьте, в билете не может быть двух неравных цифр.

Решение
Номер билета — 99999. Если бы в билете были хотя бы две неравные цифры, то их можно было бы поменять местами и сосед не смог бы наверняка решить задачу. Если же все цифры равны, но меньше 9, всегда есть возможность одну цифру увеличить на 1, другую — уменьшить, т.е. имеется дополнительный вариант решения. И только в случае, когда соседу 45 лет и номер билета 99999, — решение получается единственным.

Ответ
Номер билета 99999.

Сложность: 2
Классы: 5,6,7,8

В 100-значном числе 12345678901234...7890, вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах; в полученном 50-значном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах, и т.д. Вычёркивание прод....

Сложность: 2
Классы: 5,6,7,8

В 100-значном числе 12345678901234...7890, вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах; в полученном 50-значном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах, и т.д. Вычёркивание продолжалось до тех пор, пока было что вычёркивать. Какая цифра была вычеркнута последней?

Подсказка
Чем характеризуются порядковые номера цифр, оставшихся после первого вычёркивания? А после второго?

Решение
После первого вычёркивания останутся лишь те цифры, первоначальные номера которых чётны, после второго – те, чьи первоначальные номера делились на 4, после третьего – на 8 и т.д. Перед последним вычёркиванием останется цифра, первоначальный номер которой равен наибольшей возможной степени 2, то есть равен 64. Это цифра 4.

Ответ
4.

Сложность: 2
Классы: 6,7,8

За один ход разрешается или удваивать число, или стирать его последнюю цифру. Можно ли за несколько ходов получить из числа 458 число 14?

Подсказка
Попробуйте умножать исходное число на 2 до тех пор, пока перва....

Сложность: 2
Классы: 6,7,8

За один ход разрешается или удваивать число, или стирать его последнюю цифру. Можно ли за несколько ходов получить из числа 458 число 14?

Подсказка
Попробуйте умножать исходное число на 2 до тех пор, пока первая цифра результата не станет равна 7.

Решение
Можно сначала удвоить число, потом зачеркнуть последнюю цифру, а можно наоборот — сначала зачеркнуть последнюю цифру, а потом удвоить число. На значение первой цифры результата это почти не влияет. Поэтому можно, например, удваивать число до тех пор, пока первая цифра результата не станет равна 7; зачеркнуть все цифры, кроме первой; удвоить её. Получим: 458, 916, 1832, 3664, 7328, 732, 73, 7, 14.

Ответ
Да: 458, 45, 90, 9, 18, 36, 72, 7, 14.