Pangeya
Отмена
Вы находитесь в режиме
Гостя
ЛОГИН
E-mail / Логин / Телефон
Пароль
Забыли пароль
Просмотр страницы пользователя
Математические задачки (Math problems)
Теория множест
Просмотр объектов
Логика
теория
Теория
множест
Последо
вательн
Системы
счисл
Задачи
шутки
Просмотр групп
Объекты 1-8 из 8 (Теория множест)
Хронологический▼
Алфавитный▼
Alfavit_en▼
Авторский▼
Фото
0
0
Название
1
В классе 32 ученика.
V klasse 32 uchenika.
Описание объекта
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ....
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.
Решение
Решим более общую задачу: пусть k учеников занимаются в n кружках (из трех человек), k ≤ n. Предположим противное: каждые два кружка либо не пересекаются, либо пересекаются ровно по двум ученикам. Заметим, что если кружки K и L пересекаются с кружком M, то они пересекаются и между собой (их пересечения с M имеют общий элемент). Значит, кружки разбиваются на группы пересекающихся между собой кружков. Каждой группе кружков соответствует группа учеников – объединение их составов. Эти группы также не пересекаются. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ.
Поскольку кружков больше, чем учеников, в какой-то группе это неравенство также сохраняется. Поставим в соответствие каждой паре кружков этой группы пару учеников, каждый из которых ходит ровно в один из этих кружков. Пар кружков больше, чем пар учеников, поэтому какой-то паре учеников {a, b} соответствует по крайней мере две пары кружков {a, c, d}, {b, c, d} и {a, u, v}, {b, u, v}. Но кружки {a, c, d} и {b, u, v} не могут иметь двух общих учеников, поскольку пары {c, d} и {u, v} не совпадают. Противоречие.
Второй способ.
Если в группе, содержащей некоторый кружок {a, b, c}, есть кружки, содержащие хотя бы две из трех пар {a, b}, {a, c}, {b, c}, скажем кружок {a, b, d} и кружок {a, c, e}, то d = e (два последних кружка должны иметь двух общих членов). Единственный возможный кружок, пересекающийся с каждым из этих трех по двум элементам, – это {b, c, d}. Таким образом, в такой группе не более 4 кружков, куда ходят не менее 4 учеников.
Если же все кружки группы содержат только одну из трех указанных пар (например, {a, b}), то количество кружков в ней на 2 меньше количества всех учеников, их посещающих.
Итак, число кружков не превосходит числа учеников в классе.
Управление
Группы объекта
Теория
множест
Фото
0
0
Название
2
Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках
Kazhdyj iz uchenikov klassa zanimaetsya ne bolee chem v dvuh kruzhkah
Описание объекта
Сложность: 4-
Классы: 5,6,7
Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причем для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдется кружок, в котором занимается не менее двух тр....
Сложность: 4-
Классы: 5,6,7
Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причем для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдется кружок, в котором занимается не менее двух третей всего класса.
Решение
Если в некоторый кружок ходит весь класс, то все в порядке. Далее мы считаем, что такого кружка нет. Пусть самый многочисленный кружок – математический; его участников мы будем называть математиками. Есть ученик Вася, который в него не ходит. Рассмотрим его и одного из математиков. Они вместе ходят в другой кружок, допустим, в фото. Вася не может ходить в этот кружок вместе со всеми математиками, иначе математический кружок не будет самым многочисленным. Значит, с кем-то из математиков он ходит ещё в один кружок, например, в танцевальный. Итак, каждый математик ещё является либо фотографом, либо танцором (и никем другим). То, что было выше сказано про Васю, можно сказать и про любого ученика, который не является математиком: каждый из таких учеников – фотограф и танцор одновременно (и больше ни в какие кружки не ходит). Таким образом, кружков всего три, и каждый ученик ходит ровно в два кружка. Пусть в классе n учеников, тогда на три кружка в общей сложности приходится 2n их участников. Поэтому в математический кружок (самый многочисленный) ходит не менее, чем 2n/3 учеников.
Управление
Группы объекта
Теория
множест
Фото
0
0
Название
3
Дима провёл социальный опрос и выяснил про жителей своего подъезда
Dima provel socialnyj opros i vyyasnil pro zhitelej svoego podezda
Описание объекта
Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10
Дима провёл социальный опрос и выяснил про жителей своего подъезда, что: 25 из них играют в шахматы, 30 были в Архангельске, 28 летали на самолете.
Среди летавших на самолете 18 играют в шахматы и 17 были в Арх....
Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10
Дима провёл социальный опрос и выяснил про жителей своего подъезда, что: 25 из них играют в шахматы, 30 были в Архангельске, 28 летали на самолете.
Среди летавших на самолете 18 играют в шахматы и 17 были в Архангельске. 16 жителей играют в шахматы и были в Архангельске, притом среди них 15 еще и летали на самолете.
От управдома Дима узнал, что всего в подъезде живет 45 человек. Не врет ли управдом?
Решение
Управдом врет. Формула включения-исключения для людей, которые не были в Архангельске, не играют в шахматы, и не летали на самолете, дает 45-25-30-28 16 18 17-15=-2<0.
Ответ
Управдом врет.
Управление
Группы объекта
Теория
множест
Фото
0
0
Название
4
В классе учится 23 человека.
V klasse uchitsya 23 cheloveka.
Описание объекта
В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких пра....
В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одинаковое число раз?
(Считается, что на каждом празднике встретились каждые два гостя, а также именинник встретился со всеми гостями.)
Решение
Предъявим примеры, как такое могло произойти.
Первый пример. Выстроим учеников по кругу. Предположим, что к каждому на день рождения пришли все одноклассники, кроме следующего за ним по часовой стрелке. Тогда каждые два ученика A и B встретились на всех празднованиях, кроме двух: того, на которое не пришёл A, и того, на которое не пришёл B. Значит, каждая пара учеников встретилась 21 раз.
Второй пример. Выделим из класса двух учеников A и B. Пусть на день рождения к A пришли все одноклассники, кроме B, на день рождения к B пришёл только A, а на остальные дни рождения приходил только B. Тогда каждая пара, в которой нет B, встретилась только на дне рождения A, а все пары, содержащие B, встречались ровно по разу на остальных празднованиях. Итого, каждая пара встретилась ровно по разу.
Ответ
Могло.
Управление
Группы объекта
Теория
множест
Фото
0
0
Название
5
В некотором царстве живут маги, чародеи и волшебники.
V nekotorom carstve zhivut magi, charodei i volshebniki.
Описание объекта
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В некотором царстве живут маги, чародеи и волшебники. Про них известно следующее: во-первых, не все маги являются чародеями, во-вторых, если волшебник не является чародеем, то он не маг. Правда ли, что не все маги -- вол....
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В некотором царстве живут маги, чародеи и волшебники. Про них известно следующее: во-первых, не все маги являются чародеями, во-вторых, если волшебник не является чародеем, то он не маг. Правда ли, что не все маги -- волшебники?
Решение
Сначала немного переформулируем условия задачи. Итак, нам известны два утверждения:
1) По крайней мере один маг не является чародеем;
2) Если маг - также и волшебник, то он является и чародеем.
Посмотрим теперь на любого мага, не являющегося чародеем (такой существует из 1-го условия). Если бы он был еще и волшебником, то по 2-му условию он был бы и чародеем, но он не чародей, значит, он и не волшебник. Следовательно, не все маги являются волшебниками.
Ответ
Да, правда.
Управление
Группы объекта
Теория
множест
Фото
0
0
Название
6
У каждого из тридцати шестиклассников есть одна ручка
U kazhdogo iz tridcati shestiklassnikov est odna ruchka
Описание объекта
Сложность: 3
Классы: 5,6
У каждого из тридцати шестиклассников есть одна ручка, один карандаш и одна линейка. После их участия в олимпиаде оказалось, что 26 учеников потеряли ручку, 23 – линейку и 21 – карандаш. Найдите наименьшее возможное количе....
Сложность: 3
Классы: 5,6
У каждого из тридцати шестиклассников есть одна ручка, один карандаш и одна линейка. После их участия в олимпиаде оказалось, что 26 учеников потеряли ручку, 23 – линейку и 21 – карандаш. Найдите наименьшее возможное количество шестиклассников, потерявших все три предмета.
Решение
Из условия следует, что у четырёх шестиклассников есть ручка, у семи – линейка и у девяти – карандаш. Таким образом, обладать хотя бы одним предметом могут не более чем 4 7 9 = 20 человек. А значит, не менее чем 30 – 20 = 10 человек потеряли все три предмета.
Все три предмета потеряют ровно 10 человек, если каждый из остальных двадцати потеряет ровно два предмета.
Ответ
10 шестиклассников.
Управление
Группы объекта
Теория
множест
Фото
0
0
Название
7
В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы
V gruppe iz 50 rebyat nekotorye znayut vse bukvy
Описание объекта
Сложность: 3-
Классы: 6,7,8
В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы, кроме "р", которую просто пропускают при письме, а остальные знают все буквы, кроме "к", которую тоже пропускают. Однажды учитель попросил 10 учеников написать слово "кот....
Сложность: 3-
Классы: 6,7,8
В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы, кроме "р", которую просто пропускают при письме, а остальные знают все буквы, кроме "к", которую тоже пропускают. Однажды учитель попросил 10 учеников написать слово "кот", 18 других учеников — слово "рот", а остальных — слово "крот". При этом слова "кот" и "рот" оказались написанными по 15 раз. Сколько ребят написали своё слово верно? Ответ обоснуйте.
Решение
Слово "крот" не написал правильно никто, потому что никто не умеет писать одновременно и букву "р" и букву "п". Слово "рот" или "кот" должны были написать 10 18 = 28 человек. Заметим, что были написаны только слова "рот", "кот" и "от". Первые два слова были написаны по 15 раз, поэтому слово "от" написали 50 – 15 – 15 = 20 ребят из 28. Значит, только 8 ребят справились со своей задачей.
Ответ
8.
Управление
Группы объекта
Теория
множест
Фото
0
0
Название
8
В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов.
V sadu u Ani i Viti roslo 2006 rozovyh kustov.
Описание объекта
Сложность: 2
Классы: 6,7,8
В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовы....
Сложность: 2
Классы: 6,7,8
В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовых кустов остались не политыми?
Решение
Витя полил 1003 куста, из них 1000 он поливал один, а три – вместе с Аней. Точно так же Аня полила 1003 куста, из них 1000 она поливала в одиночку, а три – с Витей. Значит, вместе они полили 1000 1000 3 = 2003 куста. Следовательно, остались не политыми 2006 - 2003 = 3 розовых куста.
Ответ
3 куста.
Управление
Группы объекта
Теория
множест
Главная
О проекте
Холст
Контакты
Разработчикам
Вакансии
Помощь
Pangeya company ©
2019 - 2025
Русский
▼
Отменить
Продолжить
Подтвердите, что Вы человек
Отправить
Отмена
Развернуть
Закрыть
Закрыть
0
из 200
Дата последнего изменения:
Отмена
Выбрать всех
Отменить всех
Отмена
Отмена
Отменить
Отменить
Вниз
Отмена
