Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Старый сапожник Карл сшил сапоги и послал своего сына Ганса на базар – продать их за 25 талеров. На базаре к мальчику подошли два инвалида (один без левой ноги, другой – без правой) и попросили продать им по сапогу. Ганс согласи....

Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Старый сапожник Карл сшил сапоги и послал своего сына Ганса на базар – продать их за 25 талеров. На базаре к мальчику подошли два инвалида (один без левой ноги, другой – без правой) и попросили продать им по сапогу. Ганс согласился и продал каждый сапог за 12,5 талеров.
Когда мальчик пришёл домой и рассказал всё отцу, Карл решил, что инвалидам надо было продать сапоги дешевле – каждому за 10 талеров. Он дал Гансу 5 талеров и велел вернуть каждому инвалиду по 2,5 талера.
Пока мальчик искал на базаре инвалидов, он увидел, что продают сладости, не смог удержаться и истратил 3 талера на конфеты. После этого он нашёл инвалидов и отдал им оставшиеся деньги – каждому по одному талеру. Возвращаясь домой, Ганс понял, как нехорошо он поступил. Он рассказал всё отцу и попросил прощения. Сапожник сильно рассердился и наказал сына, посадив его в тёмный чулан.
Сидя в чулане, Ганс задумался. Получалось, что раз он вернул по одному талеру, то инвалиды заплатили за каждый сапог по 11,5 талеров: 12,5 – 1 = 11,5. Значит, сапоги стоили 23 талера: 2·11,5 = 23. И 3 талера Ганс истратил на конфеты, следовательно, всего получается 26 талеров: 23 3 = 26. Но ведь было-то 25 талеров! Откуда же взялся лишний талер?

Подсказка
Подумайте, сколько денег должен был получить Карл, сколько он их получил и почему.

Решение
Инвалиды заплатили за сапоги 23 талера, но Карл от них получил только 20, поскольку остальные 3 талера Ганс истратил на конфеты. Ганс, сидя в чулане, складывал доход (23 талера) с расходом (3 талера). Эта сумма не имеет никакого смысла. Другое дело, если бы он вычислил разность дохода и расхода – тогда остался бы "чистый" доход, т.е. те самые 20 талеров, которые в итоге получил Карл.

Сложность: 2
Классы: 6,7
Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?

Подсказка
Рассмотрите людей, являющихся математиками и философами одновременно.
....

Сложность: 2
Классы: 6,7
Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?

Подсказка
Рассмотрите людей, являющихся математиками и философами одновременно.

Решение
Обозначим через x число людей, являющихся математиками и философами одновременно. Тогда число математиков равно 7x, а число философов — 9x. Если x$ \ne$ 0, то философов больше. А что значит, что x = 0? Это значит, что ни тех, ни других нет вообще, то есть их ''поровну''. Это правильный ответ, формально удовлетворяющий условию задачи. И те, кто его указал, вдвойне молодцы! Хотя решение засчитывалось и тем, кто разобрал только случай, когда математики всё-таки есть.

Ответ
Если есть хотя бы один философ или математик, то философов больше.

Сложность: 2
Классы: 5,6
В комнате находятся 85 воздушных шаров — красных и синих. Известно, что: 1) по крайней мере один из шаров красный, 2) из каждой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один синий. Сколько в комнате красных шаров?
....

Сложность: 2
Классы: 5,6
В комнате находятся 85 воздушных шаров — красных и синих. Известно, что: 1) по крайней мере один из шаров красный, 2) из каждой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один синий. Сколько в комнате красных шаров?

Подсказка
Подумайте, может ли в комнате быть два красных шара.

Решение
Поскольку среди двух любых шаров один — синий, то двух красных шаров в комнате быть не может. Значит, в комнате находятся 84 синих воздушных шара и 1 — красный.

Сложность: 2
Классы: 5
В 10-этажном доме на первом этаже живет 1 человек, на втором — 2, на третьем — 3, на четвертом — 4, ... на десятом — 10. На каком этаже лифт останавливается чаще всего?

Решение
На первом.

Сложность: 2
Классы: 5
В 10-этажном доме на первом этаже живет 1 человек, на втором — 2, на третьем — 3, на четвертом — 4, ... на десятом — 10. На каком этаже лифт останавливается чаще всего?

Решение
На первом.

Сложность: 2
Классы: 5,6
Кого больше: котов, кроме тех котов, которые не Васьки, или Васек, кроме тех Васек, которые не являются котами?

Подсказка
Подумайте, кто это — «коты, кроме тех котов, которые не Васьки»?

Решение
«Кот....

Сложность: 2
Классы: 5,6
Кого больше: котов, кроме тех котов, которые не Васьки, или Васек, кроме тех Васек, которые не являются котами?

Подсказка
Подумайте, кто это — «коты, кроме тех котов, которые не Васьки»?

Решение
«Коты, кроме тех котов, которые не Васьки» — это те коты, которые Васьки. «Васьки, кроме тех Васек, которые не являются котами» — это тоже коты Васьки, т.е. одно и то же. Итак, их одинаковое количество.

Сложность: 2
Классы: 5,6,7,8
Мастер спорта Седов, кандидат в мастера Чернов и перворазрядник Рыжов встретились в клубе перед тренировкой. -- Обратите внимание, — заметил черноволосый, — один из нас седой, другой — рыжий, третий — черноволосый. Но ни у....

Сложность: 2
Классы: 5,6,7,8
Мастер спорта Седов, кандидат в мастера Чернов и перворазрядник Рыжов встретились в клубе перед тренировкой. -- Обратите внимание, — заметил черноволосый, — один из нас седой, другой — рыжий, третий — черноволосый. Но ни у одного из нас цвет волос не совпадает с фамилией. Забавно, не правда ли? -- Ты прав, — подтвердил мастер спорта. Какого цвета волосы у кандидата в мастера?

Подсказка
Вспомните задачи 71, 132, 144.

Решение
Черноволосым был не мастер (так как мастер подтвердил его слова). Это значит, что черноволосый — Рыжов. Седов тогда может быть только рыжим, а кандидат в мастера Чернов — седым.

Ответ
Седые.

Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Пять первоклассников стояли в шеренгу и держали 37 флажков. У всех справа от Таты — 14 флажков, справа от Яши — 32, справа от Веры — 20, справа от Максима — 8. Сколько флажков у Даши?

Подсказка
Заметьте, чем бо....

Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Пять первоклассников стояли в шеренгу и держали 37 флажков. У всех справа от Таты — 14 флажков, справа от Яши — 32, справа от Веры — 20, справа от Максима — 8. Сколько флажков у Даши?

Подсказка
Заметьте, чем больше флажков справа от первоклассника, тем "левее" его место в шеренге.

Решение
Очевидно, что чем больше флажков справа от первоклассника, тем "левее" его место в шеренге. Справа от Максима ктото стоит (иначе справа от него не было бы флажков). Но все, кроме Даши, наверняка стоят левее Максима. Значит, справа от Максима стоит Даша и держит 8 флажков.

Ответ
8 флажков.

Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Когда три подруги — Надя, Валя и Маша — вышли гулять, на них были белое, красное и синее платья. Туфли их были тех же трех цветов, но только у Нади цвета туфель и платья совпадали. При этом у Вали ни платье, ни туфли не были си....

Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Когда три подруги — Надя, Валя и Маша — вышли гулять, на них были белое, красное и синее платья. Туфли их были тех же трех цветов, но только у Нади цвета туфель и платья совпадали. При этом у Вали ни платье, ни туфли не были синими, а Маша была в красных туфлях. Определите цвет платьев и туфель каждой из подруг.

Подсказка
У Вали белые туфли — почему? Вспомните задачу 132.

Решение
У Вали туфли не синие (по условию) и не красные (красные — у Маши), следовательно, у Вали белые туфли; у Нади, таким образом, оставшиеся синие. Это в свою очередь означает, что у Нади — синее платье (по условию, цвета туфель и платья у Нади совпадают). Тогда у Вали — красное платье, а у Маши — белое (поскольку у них по условию туфли и платья разного цвета, причём не синего, так как всё синее — на Наде). Итак: у Нади туфли и платье синего цвета; у Вали туфли белые, платье красное; у Маши туфли красные, платье белое. 1

Ответ
У Нади туфли и платье синего цвета; у Вали туфли белые, платье красное; у Маши туфли красные, платье белое.

Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Федя всегда говорит правду, а Вадим всегда лжёт. Какой вопрос надо было бы им задать, чтобы они дали на него одинаковые ответы?

Подсказка
Вспомните задачу 140.

Решение
Как и в задаче 140, вопрос долже....

Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Федя всегда говорит правду, а Вадим всегда лжёт. Какой вопрос надо было бы им задать, чтобы они дали на него одинаковые ответы?

Подсказка
Вспомните задачу 140.

Решение
Как и в задаче 140, вопрос должен относиться к такому обстоятельству, которое верно по отношению к одному из мальчиков (например, Феде) и неверно по отношению к другому. Таких обстоятельств, по условиям задачи, два: имя и честность. Поэтому и вопросов в простейшем виде может быть два: "Ты всегда говоришь правду?" или: "Тебя зовут Федя?" При желании любой из этих вопросов можно усложнять до бесконечности, например: "Твой друг говорит правду?", или "Твоего друга зовут Федя?", или "Ты честнее твоего друга?" и т.п. Любопытно сравнить вопросы: "Ты честнее Вадима?" и "Ты честнее Феди?" На первый из них мальчики ответят одинаково — "да", а на второй — поразному, ибо Федя не может быть честнее самого себя и, как честный человек, признает это.

Ответ
"Тебя зовут Федя?"

Сложность: 2
Классы: 5,6,7,8
Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было записано сто утверждений:
"В этой тетради ровно одно неверное утверждение";
"В этой тетради ровно два неверных утверждения";
....

Сложность: 2
Классы: 5,6,7,8
Однажды на лестнице была найдена странная тетрадь. В ней было записано сто утверждений:
"В этой тетради ровно одно неверное утверждение";
"В этой тетради ровно два неверных утверждения";
"В этой тетради ровно три неверных утверждения";
... "В этой тетради ровно сто неверных утверждений".
Есть ли среди этих утверждений верные, и если да, то какие?

Подсказка
Заметьте, в тетради написано сто утверждений, каждые два из которых противоречат друг другу.

Решение
То, что в тетради записано 100 утверждений, каждые два из которых противоречат друг другу, означает, что если среди них и есть верные утверждения, то их не может быть более одного. Посмотрим, может ли здесь быть хотя бы одно верное утверждение. Если верно ровно одно утверждение, то ровно девяносто девять неверных. А такое утверждение в тетради есть: "В этой тетради ровно девяносто девять неверных утверждений". Итак, в тетради записано ровно одно верное утверждение.

Ответ
Одно верное утверждение: "В этой тетради ровно девяносто девять неверных утверждений".

Сложность: 2
Классы: 5,6,7,8
В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденном бульоне. На суде Мартовский Заяц заявил, что бульон украл Болванщик. Соня и Болванщик тоже дали показания, но что они сказали, никто не запомнил, а запись смыло алиси....

Сложность: 2
Классы: 5,6,7,8
В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденном бульоне. На суде Мартовский Заяц заявил, что бульон украл Болванщик. Соня и Болванщик тоже дали показания, но что они сказали, никто не запомнил, а запись смыло алисиными слезами. В ходе судебного заседания выяснилось, что бульон украл лишь один из подсудимых и что только он дал правдивые показания. Так кто украл бульон?

Подсказка
Подумайте, почему Мартовский Заяц не может быть вором.

Решение
Вором не может быть Мартовский Заяц, потому что вор сказал правду, а Заяц, в этом случае, соврал. Вором не может быть Болванщик, потому что, в этом случае, Заяц сказал правду, а правду сказал только вор. Значит, вор — Соня.

Ответ
Бульон украл Соня.

Сложность: 2-
Классы: 4,5,6,7
В день рождения дяди Федора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Федору, если известно, что ровно од....

Сложность: 2-
Классы: 4,5,6,7
В день рождения дяди Федора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Федору, если известно, что ровно один из них ошибся? Ответ обоснуйте.

Решение
Заметим, что если не ошибся Шарик, то не ошибся и Матроскин, что противоречит условию. Значит, Шарик сказал неправду, в отличие от кота Матроскина. Таким образом, дяде Федору больше 10 лет, но не меньше 11. Следовательно, дяде Федору исполнилось 11 лет.

Ответ
Дяде Федору 11 лет.

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7
Среди 40 кувшинов, с которыми атаман разбойников приехал в гости к Али-Бабе, нашлись два кувшина разной формы и два кувшина разного цвета. Докажите, что среди них найдутся два кувшина одновременно и разной формы и разного цвета. ....

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7
Среди 40 кувшинов, с которыми атаман разбойников приехал в гости к Али-Бабе, нашлись два кувшина разной формы и два кувшина разного цвета. Докажите, что среди них найдутся два кувшина одновременно и разной формы и разного цвета.

Подсказка
Попробуйте рассмотреть два кувшина разной формы.

Решение
Выберем два кувшина разной формы. Если они при этом различаются по цвету, то задача решена. Если же они оказались одного цвета, тогда возьмём любой кувшин, не совпадающий с ними по цвету. Этот третий кувшин не будет совпадать с одним из двух наших кувшинов и по форме. Эти два кувшина (третий и тот, который не совпадает с ним по форме) и будут искомыми кувшинами.

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7
На острове живут два племени — аборигены и пришельцы. Известно, что аборигены всегда говорят правду, пришельцы — всегда лгут. Путешественник нанял туземца-островитянина в проводники. По дороге они встретили какого-то человека.....

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7
На острове живут два племени — аборигены и пришельцы. Известно, что аборигены всегда говорят правду, пришельцы — всегда лгут. Путешественник нанял туземца-островитянина в проводники. По дороге они встретили какого-то человека. Путешественник попросил проводника узнать, к какому племени принадлежит этот человек. Проводник вернулся и сообщил, что человек назвался аборигеном. Кем был проводник — аборигеном или пришельцем?

Подсказка
Подумайте, что ответил проводнику повстречавшийся человек.

Решение
Второй туземец, кем бы он ни был, на вопрос: "Абориген ли Вы?" ответит положительно. Значит, проводник не обманул путешественника, следовательно, и он тоже абориген.

Ответ
Проводник абориген.

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7

В первом пенале лежат лиловая ручка, зелёный карандаш и красный ластик; во втором – синяя ручка, зелёный карандаш и жёлтый ластик; в третьем – лиловая ручка, оранжевый карандаш и жёлтый ластик. Содержимое этих пеналов характ....

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7

В первом пенале лежат лиловая ручка, зелёный карандаш и красный ластик; во втором – синяя ручка, зелёный карандаш и жёлтый ластик; в третьем – лиловая ручка, оранжевый карандаш и жёлтый ластик. Содержимое этих пеналов характеризуется такой закономерностью: в каждых двух из них ровно одна пара предметов совпадает и по цвету, и по назначению. Что должно лежать в четвёртом пенале, чтобы эта закономерность сохранилась? (В каждом пенале лежит ровно три предмета: ручка, карандвш и ластик.)

Подсказка
Подумайте, может ли в четвёртом пенале лежать лиловая ручка.

Решение
В четвёртом пенале должны лежать предметы, которые уже встречаются в первых трёх пеналах, но только по одному разу.

Ответ
Синяя ручка, оранжевый карандаш, красный ластик.

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7
В равенстве 101 – 102 = 1 передвиньте одну цифру так, чтобы оно стало верным.

Решение
Если цифру 2 в числе 102 передвинуть вверх, на место показателя степени, то исходное равенство примет вид 101 – 102 = 1 и будет....

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7
В равенстве 101 – 102 = 1 передвиньте одну цифру так, чтобы оно стало верным.

Решение
Если цифру 2 в числе 102 передвинуть вверх, на место показателя степени, то исходное равенство примет вид 101 – 102 = 1 и будет верным.

Ответ
Цифру 2 в числе 102 надо поставить на место показателя степени.

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7
Первый вторник месяца Митя провёл в Смоленске, а первый вторник после первого понедельника — в Вологде. В следующем месяце Митя первый вторник провёл во Пскове, а первый вторник после первого понедельника — во Владимире. Сможете....

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7
Первый вторник месяца Митя провёл в Смоленске, а первый вторник после первого понедельника — в Вологде. В следующем месяце Митя первый вторник провёл во Пскове, а первый вторник после первого понедельника — во Владимире. Сможете ли вы определить, какого числа и какого месяца Митя был в каждом из городов?

Подсказка Почему тот месяц, в который Митя был в Смоленске и в Вологде, начинался во вторник?

Решение Поскольку Митя не мог провести один и тот же день и в Смоленске и в Вологде, значит, месяц начинался во вторник (ведь иначе первый вторник и первый вторник после первого понедельника совпали бы). Аналогично заключаем, что и второй месяц должен начинаться во вторник. Это возможно только в случае, когда один месяц — февраль, а другой — март, причём год не високосный. Отсюда уже легко получить, что в Смоленске Митя был 1 февраля, в Вологде — 8 февраля, во Пскове — 1 марта, во Владимире — 8 марта.

Ответ В Смоленске — 1 февраля, в Вологде — 8 февраля, в Пскове — 1 марта, во Владимире — 8 марта.

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7
Из набора гирек с массами 1, 2, ..., 101 г потерялась гирька массой 19 г. Можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на две кучки по 50 гирек в каждой так, чтобы массы обеих кучек были одинаковы?

Подсказка Попробуйте нача....

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7
Из набора гирек с массами 1, 2, ..., 101 г потерялась гирька массой 19 г. Можно ли оставшиеся 100 гирек разложить на две кучки по 50 гирек в каждой так, чтобы массы обеих кучек были одинаковы?

Подсказка Попробуйте начать с того, чтобы положить в первую кучку гирьки массой 101 и 1 г, а во вторую — массой 100 и 2 г.

Решение Положим в первую кучку две гирьки массой 101 г и 1 г, а во вторую — 100 г и 2 г; затем в первую две гирьки — 99 г и 3 г, а во вторую — 98 г и 4 г. Так будем действовать, пока не положим во вторую кучку гирьки в 84 г и 18 г. К этому моменту в каждой кучке будет лежать по 18 гирек. Теперь положим в первую кучку две гирьки массой 83 г и 20 г, а во вторую — 82 г и 21 г. Так будем продолжать до тех пор, пока во вторую кучку не придётся положить последнюю пару гирек массой 52 г и 51 г.

Ответ Да.

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7
На столе лежат в ряд пять монет: средняя — вверх орлом, а остальные — вверх решкой. Разрешается одновременно перевернуть три рядом лежащие монеты. Можно ли при помощи нескольких таких переворачиваний все пять монет положить вверх о....

Сложность: 2-
Классы: 5,6,7
На столе лежат в ряд пять монет: средняя — вверх орлом, а остальные — вверх решкой. Разрешается одновременно перевернуть три рядом лежащие монеты. Можно ли при помощи нескольких таких переворачиваний все пять монет положить вверх орлом?

Подсказка Попробуйте перевернуть первые три монеты.

Решение Это действительно можно сделать, причём довольно быстро. Перевернём первые три монеты. Тогда первые две монеты будут лежать вверх орлом, а последние три — вверх решкой. Теперь переворачиваем последние три монеты, и все пять монет лежат вверх орлом.

Ответ Да: первым ходом перевернём первые 3 монеты, вторым — последние 3