ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Множество M, состоящее из действительных чисел, называется ограниченным сверху, если существует действительное число C такое, что для всякого элемента x множества M выполняется неравенство: x<C. Определение множества, ограниченного снизу, аналогично. ....

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Множество M, состоящее из действительных чисел, называется ограниченным сверху, если существует действительное число C такое, что для всякого элемента x множества M выполняется неравенство: x<C. Определение множества, ограниченного снизу, аналогично.

Эквивалентно ли приведенное определение такому:
а) Множество M, состоящее из действительных чисел, называется ограниченным сверху, если существует целое число C такое, что для всякого элемента x множества M выполняется неравенство x<C.
б) x≤C (отличается от исходного определение только неравенством)

Верна ли теорема:

Объединение двух ограниченных сверху множеств ограничено сверху.

Верна ли теорема:

Объединение двух ограниченных сверху множеств ограничено сверху.

Сформулируйте не употребляя отрицаний определение того, что множество M неограничено сверху.

Сформулируйте не употребляя отрицаний определение того, что множество M неограничено сверху.

Ограничено ли сверху пустое множество?

Ограничено ли сверху пустое множество?

Докажите, что бесконечное множество сумм вида:

S_n=1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n

ограничено сверху (n принимает всевозможные неотрицательные целые значения)

Докажите, что бесконечное множество сумм вида:

S_n=1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n

ограничено сверху (n принимает всевозможные неотрицательные целые значения)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Число С называется точной верхней гранью числового множества M, если выполняются два условия:
1) ∀ x ∈ M верно неравенство x ≤ C
2) ∀ C' < C ∃ x ∈ M такой, что x > C'

ОПРЕДЕЛЕНИЕ2
....

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Число С называется точной верхней гранью числового множества M, если выполняются два условия:
1) ∀ x ∈ M верно неравенство x ≤ C
2) ∀ C' < C ∃ x ∈ M такой, что x > C'

ОПРЕДЕЛЕНИЕ2
Число С называется точной верхней гранью числового множества M, если выполняются два условия:
1) ∀ x ∈ M верно неравенство x ≤ C
2) ∀ e > 0 ∃ x ∈ M такой, что x > C-e

ЗАДАЧА
Если для множества есть точная верхняя грань, то только одна

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дедекиндовы сечения в области рациональных чисел - это разбиение множества всех рациональных чисел на 2-е части A и A’:
а) любое r ∈ Q попадает либо в A, либо в A’
б) любое r ∈ A < любого r э A’

КАКИЕ БЫВАЮТ РАЦИОН....

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дедекиндовы сечения в области рациональных чисел - это разбиение множества всех рациональных чисел на 2-е части A и A’:
а) любое r ∈ Q попадает либо в A, либо в A’
б) любое r ∈ A < любого r э A’

КАКИЕ БЫВАЮТ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕДЕКИНДОВЫ СЕЧЕНИЯ?
1) бывают ли сечения, в которых есть наименьший элемент в верхнем классе или наибольший в верхнем классе?
2) бывают ли сечения, в которых нет наименьшего элемента в верхнем классе и наибольшего в нижнем классе?
3) как доказать, что не существует рационального числа r: r^2=2
4) как доказать, что для такого сечения в нижнем классе нет наибольшего?
5) может ли быть сечение в области рац чисел, у которого в нижнем есть наибольший, в верхнем есть наименьший?

КАКИЕ БЫВАЮТ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕДЕКИНДОВЫ СЕЧЕНИЯ? 1) бывают ли сечения, в которых есть наименьший элемент в верхнем классе или наибольший в верхнем классе?

КАКИЕ БЫВАЮТ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕДЕКИНДОВЫ СЕЧЕНИЯ? 1) бывают ли сечения, в которых есть наименьший элемент в верхнем классе или наибольший в верхнем классе?

КАКИЕ БЫВАЮТ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕДЕКИНДОВЫ СЕЧЕНИЯ? 2) бывают ли сечения, в которых нет наименьшего элемента в верхнем классе и наибольшего в нижнем классе?

КАКИЕ БЫВАЮТ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕДЕКИНДОВЫ СЕЧЕНИЯ? 2) бывают ли сечения, в которых нет наименьшего элемента в верхнем классе и наибольшего в нижнем классе?

КАКИЕ БЫВАЮТ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕДЕКИНДОВЫ СЕЧЕНИЯ? 3) как доказать, что не существует рационального числа r: r^2=2

КАКИЕ БЫВАЮТ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕДЕКИНДОВЫ СЕЧЕНИЯ? 3) как доказать, что не существует рационального числа r: r^2=2

КАКИЕ БЫВАЮТ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕДЕКИНДОВЫ СЕЧЕНИЯ? 4) как доказать, что для такого сечения в нижнем классе нет наибольшего?

КАКИЕ БЫВАЮТ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕДЕКИНДОВЫ СЕЧЕНИЯ? 4) как доказать, что для такого сечения в нижнем классе нет наибольшего?

КАКИЕ БЫВАЮТ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕДЕКИНДОВЫ СЕЧЕНИЯ? 5) может ли быть сечение в области рац чисел, у которого в нижнем есть наибольший, в верхнем есть наименьший?

КАКИЕ БЫВАЮТ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕДЕКИНДОВЫ СЕЧЕНИЯ? 5) может ли быть сечение в области рац чисел, у которого в нижнем есть наибольший, в верхнем есть наименьший?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1) сечения, в которых в нижнем классе есть наибольший элемент или в верхнем наименьший - задают рациональные числа
2) сечения, в которых нет ни наибольшего ни наименьшего задают иррациональные числа

Докажите, что между любыми 2-м....

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1) сечения, в которых в нижнем классе есть наибольший элемент или в верхнем наименьший - задают рациональные числа
2) сечения, в которых нет ни наибольшего ни наименьшего задают иррациональные числа

Докажите, что между любыми 2-мя вещественными числами можно вставить рациональное число

ТЕОРЕМА ДЕДЕКИНДА - любое сечение среди вещественных чисел имеет либо наибольший, либо наименьший элемент в одном из классов. Теорема о полноте или о непрерывности вещественных чисел

ТЕОРЕМА ДЕДЕКИНДА - любое сечение среди вещественных чисел имеет либо наибольший, либо наименьший элемент в одном из классов. Теорема о полноте или о непрерывности вещественных чисел

Теорема: любое ограниченное сверху множество имеет sup

Теорема: любое ограниченное сверху множество имеет sup

Отрезком [a,b] называется множество точек x, удовлетворяющих неравенствам: a ≤ x ≤ b при условии, что a < b

Интервалом (a,b) называется множество точек x, удовлетворяющих неравенствам: a < x < b при условии, что a < b

Система отрезков....

Отрезком [a,b] называется множество точек x, удовлетворяющих неравенствам: a ≤ x ≤ b при условии, что a < b

Интервалом (a,b) называется множество точек x, удовлетворяющих неравенствам: a < x < b при условии, что a < b

Система отрезков [a₁,b₁],[a₂,b₂],...,[a_n,b_n],... (до бесконечности) называется вложенной, если для любого натурального числа i верны неравенства: a_i ≤ a_i+1, b_i ≥ b_i+1

Аналогично определение вложенной системы интервалов.

Задачи
1) У вложенной системы отрезков всегда a_i < b_j (при любых натуральных i и j). Доказать.
2) Теорема: вложенная система отрезков всегда имеет хотя бы одну точку, принадлежащую всем отрезкам системы (общую точку системы). Доказать.
3) Покажите, что вложенная система интервалов не всегда имеет общую точку.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность a1,a2,...,an,... (до бесконечности) называется стабилизирующейся, если все ее элементы, начиная с некоторого, равны между собой.

Задача
Докажите, что вложенная система интервалов имеет общую точку, если последовательность ....

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность a1,a2,...,an,... (до бесконечности) называется стабилизирующейся, если все ее элементы, начиная с некоторого, равны между собой.

Задача
Докажите, что вложенная система интервалов имеет общую точку, если последовательность левых концов интервалов не стабилизируется и последовательность правых концов - тоже не стабилизируется.

Доказать Несчетность континуума через вложенную систему отрезков, имеющих хотя бы одну общую точку

Доказать Несчетность континуума через вложенную систему отрезков, имеющих хотя бы одну общую точку

Окрестностью точки x числовой оси называется любой интервал, содержащий эту точку.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1
Пусть М - некоторое множество точек числовой оси. Точка "а" называется точкой, предельной для множества М, если в любой окрестности точки "а" найдется точка мно....

Окрестностью точки x числовой оси называется любой интервал, содержащий эту точку.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1
Пусть М - некоторое множество точек числовой оси. Точка "а" называется точкой, предельной для множества М, если в любой окрестности точки "а" найдется точка множества М, отличная от "а".

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2
Пусть М - некоторое множество точек числовой оси. Точка "а" называется точкой, предельной для множества М, если в любой окрестности точки "а" найдется бесконечное число точек множества М.

Задача
Докажите эквивалентность определений 1 и 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАМКНУТОГО МНОЖЕСТВА
Множество М (подмножество числовой оси) называется замкнутым, если любая точка, предельная для М, принадлежит М.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТКРЫТОГО МНОЖЕСТВА
Множество М (подмножество числовой оси) называется от....

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАМКНУТОГО МНОЖЕСТВА
Множество М (подмножество числовой оси) называется замкнутым, если любая точка, предельная для М, принадлежит М.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТКРЫТОГО МНОЖЕСТВА
Множество М (подмножество числовой оси) называется открытым, если из того, что точка x принадлежит М, следует, что некоторая окрестность точки x целиком принадлежит М.

Задача 1
Докажите, что отрезок есть множество замкнутое.

Задача 2
Докажите, что интервал есть множество открытое.

Докажите, что дополнение к замкнутому множеству (то есть множество всех точек, не входящих в это множество) есть множество открытое, а дополнение к открытому множеству - множество замкнутое.

Докажите, что дополнение к замкнутому множеству (то есть множество всех точек, не входящих в это множество) есть множество открытое, а дополнение к открытому множеству - множество замкнутое.

Докажите, что множество предельных точек любого множества замкнуто.

Докажите, что множество предельных точек любого множества замкнуто.

Докажите, что если множество М бесконечно и принадлежит некоторому отрезку, то найдется точка, предельная для М.

Докажите, что если множество М бесконечно и принадлежит некоторому отрезку, то найдется точка, предельная для М.

Теорема: множество всех действительных чисел несчетно.

Начало доказательства: допустим, что множество действительных чисел отрезка [0;1] счетно. Тогда все эти числа можно занумеровать натуральными числами: a1, a2, ... аn, ... Покроем каждую точку ai интервалом ....

Теорема: множество всех действительных чисел несчетно.

Начало доказательства: допустим, что множество действительных чисел отрезка [0;1] счетно. Тогда все эти числа можно занумеровать натуральными числами: a1, a2, ... аn, ... Покроем каждую точку ai интервалом Gi длины 10^-i

Задача 1
Доказать, что при любом n объединение G1 U G2 U ... U Gn не покрывает отрезка [0;1]

Выберем какую-нибудь точку, не покрытую этими интервалами, и обозначим ее через Bn

Задача 2
Доказать, что найдется точка, предельная для множества точек Bn (обозначим эту точку через С)

Задача 3
Найдите противоречие в том факте, что точка С покрыта некоторым интервалом Gk.

Это противоречие доказывает, что множество точек отрезка не может быть счетным.

Полуинтервал [a;b) (точка a включена в полуинтервал, точка b не включен) разбить на счетное множество непересекающихся полуинтервалов

Полуинтервал [a;b) (точка a включена в полуинтервал, точка b не включен) разбить на счетное множество непересекающихся полуинтервалов

Разбейте интервал (a;b) на счетное множество непересекающихся полуинтервалов

Разбейте интервал (a;b) на счетное множество непересекающихся полуинтервалов

Докажите, что интервал нельзя представить как объединение бесконечного (любой мощности) множества непересекающихся интервалов

Докажите, что интервал нельзя представить как объединение бесконечного (любой мощности) множества непересекающихся интервалов

Можно ли представить отрезок как объединение бесконечного множества непересекающихся полуинтервалов?

Можно ли представить отрезок как объединение бесконечного множества непересекающихся полуинтервалов?

ФОРМУЛИРОВКА
Множество M состоит из отрезков, каждый из которых принадлежит отрезку [0;1] числовой оси, при этом никакие два отрезка множества M не имеют общей точки. Докажите, что множество M конечно или счетно.

АЛЬТЕРНАТИВНАЯ ФОРМУЛИРОВКА
Доказать, ....

ФОРМУЛИРОВКА
Множество M состоит из отрезков, каждый из которых принадлежит отрезку [0;1] числовой оси, при этом никакие два отрезка множества M не имеют общей точки. Докажите, что множество M конечно или счетно.

АЛЬТЕРНАТИВНАЯ ФОРМУЛИРОВКА
Доказать, что в отрезке 0 1 уместится не более чем счетное число непересекающихся отрезков ненулевой длины)

Задача 1.
Докажите, что найдется такое натуральное число p, что для любого натурального k, большего p, 1000*2^k < k!

Задача 2.
Докажите, что найдется такое натурально число p, что для любого натурального k, большего p, k^2 < 2^k

Задача ....

Задача 1.
Докажите, что найдется такое натуральное число p, что для любого натурального k, большего p, 1000*2^k < k!

Задача 2.
Докажите, что найдется такое натурально число p, что для любого натурального k, большего p, k^2 < 2^k

Задача 3.
Докажите, что найдется такое натуральное число p, что для любого натурального k, большего p, k^10 < 2^k

Задача 1
Найдите хотя бы одно такое натуральное k, что 1,0001^k > 1000000

Задача 2
Найдите хотя бы одно такое натуральное k, что 0,999^k < 0,0000001

Задача 1
Найдите хотя бы одно такое натуральное k, что 1,0001^k > 1000000

Задача 2
Найдите хотя бы одно такое натуральное k, что 0,999^k < 0,0000001

Задача ЛАЙТ
Докажите, что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше среднего геометрического этих чисел, и если числа не равны, то неравенство строгое.

Задача ХАРД
Докажите, что среднее арифметическое n положительных чисел (n > 2) не ....

Задача ЛАЙТ
Докажите, что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше среднего геометрического этих чисел, и если числа не равны, то неравенство строгое.

Задача ХАРД
Докажите, что среднее арифметическое n положительных чисел (n > 2) не меньше среднего геометрического этих чисел, и если не все числа равны, то неравенство строгое.

Покажите, что последовательность an=(1 + 1/n)^n возрастающая

Покажите, что последовательность an=(1 + 1/n)^n возрастающая

M и N - множества их положительных чисел, A=sup(M), B=sup(N), R - множество всевозможных сумм x + y, где x ∈ M, y ∈ N. Докажите, что sup(R)=A + B

M и N - множества их положительных чисел, A=sup(M), B=sup(N), R - множество всевозможных сумм x + y, где x ∈ M, y ∈ N. Докажите, что sup(R)=A + B

M и N - множества их положительных чисел, A=sup(M), B=sup(N), R - множество всевозможных сумм x * y, где x ∈ M, y ∈ N. Докажите, что sup(R)=A * B

M и N - множества их положительных чисел, A=sup(M), B=sup(N), R - множество всевозможных сумм x * y, где x ∈ M, y ∈ N. Докажите, что sup(R)=A * B

Докажите неравенство Бернулли (1 + x)^n >= 1 + nx, n ∈ N, x ≥ -1

Докажите неравенство Бернулли (1 + x)^n >= 1 + nx, n ∈ N, x ≥ -1

Покажите, что последовательность bn=(1-1/n)^n возрастающая

Покажите, что последовательность bn=(1-1/n)^n возрастающая

Покажите, что последовательность cn=(1 + 1/n)^(n + 1) убывающая

Указание:
Как связаны последовательности c_n=(1 + 1/n)^(n + 1) и b_n=(1-1/n)^n:
cn=(1 + 1/n)^(n + 1)=((n + 1)/n)^(n + 1)=1/(n/(n + 1))^(n &plus....

Покажите, что последовательность cn=(1 + 1/n)^(n + 1) убывающая

Указание:
Как связаны последовательности c_n=(1 + 1/n)^(n + 1) и b_n=(1-1/n)^n:
cn=(1 + 1/n)^(n + 1)=((n + 1)/n)^(n + 1)=1/(n/(n + 1))^(n + 1)=1/((n + 1-1)/(n + 1))^(n + 1)=1/(1 - 1/(n + 1))^(n + 1) =1/b_(n + 1)

an=(1 + 1/n)^n cn=(1 + 1/n)^(n + 1)

Задача 1
Докажите, что существуют sup(an) и inf(cn)

Задача 2
Докажите, что sup(an)=inf(cn)

Определение
Числом Эйлера e называется sup(an) (и inf(cn))

an=(1 + 1/n)^n cn=(1 + 1/n)^(n + 1)

Задача 1
Докажите, что существуют sup(an) и inf(cn)

Задача 2
Докажите, что sup(an)=inf(cn)

Определение
Числом Эйлера e называется sup(an) (и inf(cn))