Задача 1.
Докажите, что решение неравенства |a-x| <>0) есть интервал с концами a - e,a + e.

Задача 2.
Докажите неравенство |a + b| ≤ |a| + |b|. В каких случаях имеет место равенство?

Задача 3.
Рассматривается система двух....

Задача 1.
Докажите, что решение неравенства |a-x| < e (e>0) есть интервал с концами a - e,a + e.

Задача 2.
Докажите неравенство |a + b| ≤ |a| + |b|. В каких случаях имеет место равенство?

Задача 3.
Рассматривается система двух неравенства: |a-x| < t, |b-x| < k. При каких a,b,t и k система имеет решение? (Выразите условие существования решения через арифметические действия и функции min и max).

Задача 4.
Докажите, что если система неравенств предыдущей задачи имеет решение, то оно есть интервал. Запишите этот интервал в виде решения неравенства |x-c| < y; выразите с и y через a,b,t и k с помощью арифметических действий и функций min и max.

Идея предела

Идея предела

Определение предела последовательности.

Формулировка 1.

Число a называется пределом последовательности a_n, если любая окрестность числа a содержит все члены последовательности, начиная с некоторого.

Формулировка 2.

Число a называется....

Определение предела последовательности.

Формулировка 1.

Число a называется пределом последовательности a_n, если любая окрестность числа a содержит все члены последовательности, начиная с некоторого.

Формулировка 2.

Число a называется пределом последовательности a_n, если для любого положительного числа e найдется N такое, что для любого натурального n, которое больше N, |a_n - a| < e.

Обозначение lim(a_n)=a. Через n в задачах о последовательностях обозначается натуральное число, если не оговорено противное.

Докажите эквивалентность двух приведенных формулировок.

Докажите, что lim(1/n)=0.

Докажите, что lim(1/n)=0.

Докажите, что lim(a_n + b_n)=lim(a_n) + lim(b_n)

Докажите, что lim(a_n + b_n)=lim(a_n) + lim(b_n)

Что значит, что число a не есть предел последовательности a_n? Сформулируйте не употребляя отрицаний.

Что значит, что число a не есть предел последовательности a_n? Сформулируйте не употребляя отрицаний.

В приведенных шестнадцати формулировках a и e - действительные числа, n и N - натуральные числа.
Про каждую из формулировок требуется дать словесное описание множества последовательностей, удовлетворяющих этой формулировке, и найти среди них знакомые.

Форму....

В приведенных шестнадцати формулировках a и e - действительные числа, n и N - натуральные числа.
Про каждую из формулировок требуется дать словесное описание множества последовательностей, удовлетворяющих этой формулировке, и найти среди них знакомые.

Формулировки занумерованы восьмеричными числами. Угадайте, зачем.

0.Найдется такое e>0, что найдется такое N, для которого найдется n>N, такое что |a_n-a| < e.

1.Найдется такое e>0, что найдется такое N, для которого найдется n>N, такое что |a_n-a| ≥ e.

2.Найдется такое e>0, что найдется такое N, что для любого n>N, такое что |a_n-a| < e.

3.Найдется такое e>0, что найдется такое N, что для любого n>N, такое что |a_n-a| ≥ e.

4.Найдется такое e>0, что для любого N, найдется такое n>N, такое что |a_n-a| < e.

5.Найдется такое e>0, что для любого N, найдется такое n>N, такое что |a_n-a| ≥ e.

6.Найдется такое e>0, что для любого N и любого n>N |a_n-a| < e.

7.Найдется такое e>0, что для любого N и любого n>N |a_n-a| ≥ e.

10.Для любого e>0 найдется такое N, для которого найдется n>N, такое что |a_n-a| < e.

11.Для любого e>0 найдется такое N, для которого найдется n>N, такое что |a_n-a| ≥ e.

12.Для любого e>0 найдется такое N, что для любого n>N, |a_n-a| < e.

13.Для любого e>0 найдется такое N, что для любого n>N, |a_n-a| ≥ e.

14.Для любого e>0 и для любого N найдется такое n>N, что |a_n-a| < e.

15.Для любого e>0 и для любого N найдется такое n>N, что |a_n-a| ≥ e.

16.Для любого e>0 и для любого N и любого n>N |a_n-a| < e.

17.Для любого e>0 и для любого N и любого n>N |a_n-a| ≥ e.

0.Найдется такое e>0, что найдется такое N, для которого найдется n>N, такое что |a_n-a| < e.

0.Найдется такое e>0, что найдется такое N, для которого найдется n>N, такое что |a_n-a| < e.

1.Найдется такое e>0, что найдется такое N, для которого найдется n>N, такое что |a_n-a| ≥ e.

1.Найдется такое e>0, что найдется такое N, для которого найдется n>N, такое что |a_n-a| ≥ e.

2.Найдется такое e>0, что найдется такое N, что для любого n>N, такое что |a_n-a| < e.

2.Найдется такое e>0, что найдется такое N, что для любого n>N, такое что |a_n-a| < e.

3.Найдется такое e>0, что найдется такое N, что для любого n>N, такое что |a_n-a| ≥ e.

3.Найдется такое e>0, что найдется такое N, что для любого n>N, такое что |a_n-a| ≥ e.

4.Найдется такое e>0, что для любого N, найдется такое n>N, такое что |a_n-a| < e.

4.Найдется такое e>0, что для любого N, найдется такое n>N, такое что |a_n-a| < e.

5.Найдется такое e>0, что для любого N, найдется такое n>N, такое что |a_n-a| ≥ e.

5.Найдется такое e>0, что для любого N, найдется такое n>N, такое что |a_n-a| ≥ e.

6.Найдется такое e>0, что для любого N и любого n>N |a_n-a| < e.

6.Найдется такое e>0, что для любого N и любого n>N |a_n-a| < e.

7.Найдется такое e>0, что для любого N и любого n>N |a_n-a| ≥ e.

7.Найдется такое e>0, что для любого N и любого n>N |a_n-a| ≥ e.

10.Для любого e>0 найдется такое N, для которого найдется n>N, такое что |a_n-a| < e.

10.Для любого e>0 найдется такое N, для которого найдется n>N, такое что |a_n-a| < e.

11.Для любого e>0 найдется такое N, для которого найдется n>N, такое что |a_n-a| ≥ e.

11.Для любого e>0 найдется такое N, для которого найдется n>N, такое что |a_n-a| ≥ e.

12.Для любого e>0 найдется такое N, что для любого n>N, |a_n-a| < e.

12.Для любого e>0 найдется такое N, что для любого n>N, |a_n-a| < e.

13.Для любого e>0 найдется такое N, что для любого n>N, |a_n-a| ≥ e.

13.Для любого e>0 найдется такое N, что для любого n>N, |a_n-a| ≥ e.

14.Для любого e>0 и для любого N найдется такое n>N, что |a_n-a| < e.

14.Для любого e>0 и для любого N найдется такое n>N, что |a_n-a| < e.

15.Для любого e>0 и для любого N найдется такое n>N, что |a_n-a| ≥ e.

15.Для любого e>0 и для любого N найдется такое n>N, что |a_n-a| ≥ e.

16.Для любого e>0 и для любого N и любого n>N |a_n-a| < e.

16.Для любого e>0 и для любого N и любого n>N |a_n-a| < e.

17.Для любого e>0 и для любого N и любого n>N |a_n-a| ≥ e.

17.Для любого e>0 и для любого N и любого n>N |a_n-a| ≥ e.

lim(a_n)=a и lim(a_n)=b. Бывает ли так, и если бывает, то в каких случаях?

lim(a_n)=a и lim(a_n)=b. Бывает ли так, и если бывает, то в каких случаях?

Докажите, что если последовательность имеет предел, то она ограничена. (Последовательность называется ограниченной, если существует такое число С, что для любого натурального n |a_n| < C)

Докажите, что если последовательность имеет предел, то она ограничена. (Последовательность называется ограниченной, если существует такое число С, что для любого натурального n |a_n| < C)

Если lim(a_n)=a, и a!=0, то все члены последовательности начиная с некоторого имеют тот же знак, что и a. Докажите.

Если lim(a_n)=a, и a!=0, то все члены последовательности начиная с некоторого имеют тот же знак, что и a. Докажите.

Бывает ли так: последовательность не имеет предела, но если выбросить из нее любую бесконечную подпоследовательность, сохраняя порядок остальных членов, и так, что остается бесконечное количество членов, то оставшаяся последовательность всегда имеет предел.

Бывает ли так: последовательность не имеет предела, но если выбросить из нее любую бесконечную подпоследовательность, сохраняя порядок остальных членов, и так, что остается бесконечное количество членов, то оставшаяся последовательность всегда имеет предел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ конечной точки сгущения a последовательности xn
∀> 0 ∀> 0 : ∃>> |x_n-a| < e*const

ОПРЕДЕЛЕНИЕ конечной точки сгущения a последовательности xn "по простому"
как бы близко ты к “a” ни подкрался, там обязательно рядом с “a” в окрестности найд....

ОПРЕДЕЛЕНИЕ конечной точки сгущения a последовательности xn
∀ e > 0 ∀ N(e) > 0 : ∃ n > N => |x_n-a| < e*const

ОПРЕДЕЛЕНИЕ конечной точки сгущения a последовательности xn "по простому"
как бы близко ты к “a” ни подкрался, там обязательно рядом с “a” в окрестности найдется какой-то элемент последовательности. Т.е. не все элементы последовательности обязательно будут сгущаться к “а” как в определении предела, но какие-то точно будут сгущаться

Задача1
Сформулируйте определения ограниченной(с обеих сторон) и неограниченной (с обеих сторон) последовательностей.

Задача2
Сформулируйте определения 2-х бесконечных точек сгущения ( +oo и -oo)

Привести пример последовательности, у которой бесконечно много точек сгущения
а)Привести пример последовательности, у которой счетное количество точек сгущения
б)Привести пример последовательности, у которой континуум точек сгущения

Привести пример последовательности, у которой бесконечно много точек сгущения
а)Привести пример последовательности, у которой счетное количество точек сгущения
б)Привести пример последовательности, у которой континуум точек сгущения

У любой последовательности есть хотя бы одна точка сгущения (конечная или бесконечная)

У любой последовательности есть хотя бы одна точка сгущения (конечная или бесконечная)

Докажите, что из любой бесконечной последовательности можно выбрать бесконечную монотонную подпоследовательность.

Докажите, что из любой бесконечной последовательности можно выбрать бесконечную монотонную подпоследовательность.

Пусть m=f(n) - взаимно однозначное преобразование множества натуральных чисел в себя. Дано: lim(a_n)=a. Последовательность b_n получена из a_n перенумерацией, то есть b_n = a_f(n). Докажите, что предельное поведение этих последовательностей одинаково, то есть если одна ....

Пусть m=f(n) - взаимно однозначное преобразование множества натуральных чисел в себя. Дано: lim(a_n)=a. Последовательность b_n получена из a_n перенумерацией, то есть b_n = a_f(n). Докажите, что предельное поведение этих последовательностей одинаково, то есть если одна из них имеет предел, то и другая имеет предел, притом тот же самый.

Докажите, что предельное поведение последовательности не меняется, если добавить к ней конечное число членов, вычеркнуть конечное число членов или изменить значения конечного числа членов.

Докажите, что предельное поведение последовательности не меняется, если добавить к ней конечное число членов, вычеркнуть конечное число членов или изменить значения конечного числа членов.

Докажите теорему:
Последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда выполняются два условия:
1.Последовательность ограничена
2.Она имеет не более одной предельной точки

Докажите теорему:
Последовательность имеет предел тогда и только тогда, когда выполняются два условия:
1.Последовательность ограничена
2.Она имеет не более одной предельной точки

Найти наибольший член последовательностей:
1) x_n=n^2/2^n
2) x_n=n/(100 + n^2)
3) x_n=1000^n/n!

Найти наибольший член последовательностей:
1) x_n=n^2/2^n
2) x_n=n/(100 + n^2)
3) x_n=1000^n/n!

Найдите наименьший член следующих последовательностей:
1) x_n=n^2 - 5n + 1
2) x_n=n + 100/n
3) x_n=n + 5sin(Pn/2)

Найдите наименьший член следующих последовательностей:
1) x_n=n^2 - 5n + 1
2) x_n=n + 100/n
3) x_n=n + 5sin(Pn/2)

Определение1
Почти вся последовательность - последовательность за исключением конечного числа членов.
Определение2
Назовём отрезок [a;b] на числовой оси ЛОВУШКОЙ для последовательности x_n, если ПОЧТИ ВСЯ последовательность лежит в этом отрезке.
Определ....

Определение1
Почти вся последовательность - последовательность за исключением конечного числа членов.
Определение2
Назовём отрезок [a;b] на числовой оси ЛОВУШКОЙ для последовательности x_n, если ПОЧТИ ВСЯ последовательность лежит в этом отрезке.
Определение3
Назовем отрезок [a;b] КОРМУШКОЙ для последовательности x_n, если на этом отрезке лежит бесконечно много членов последовательности.

1)Докажите, что всякая ЛОВУШКА является КОРМУШКОЙ
2)Придумайте пример КОРМУШКИ, которая не является ЛОВУШКОЙ
3)Существует ли последовательность, не имеющая ни одной КОРМУШКИ?
4)Существует ли последовательность, для которой всякий отрезок является кормушкой?

Рассмотрим следующие пять свойств последовательностей:
1) тождественно равняться a
2) иметь число a пределом
3) иметь число a предельной точкой
4) быть ограниченно
5) стремиться к бесконечности

Каждую последовательность можно охарактеризоват....

Рассмотрим следующие пять свойств последовательностей:
1) тождественно равняться a
2) иметь число a пределом
3) иметь число a предельной точкой
4) быть ограниченно
5) стремиться к бесконечности

Каждую последовательность можно охарактеризовать набором из пяти знаков плюс или минус. Например, набор - + + + - означает, что последовательность обладает свойствами 2,3,4 и не обладает свойствами 1,5. некоторые наборы не имеют смысла (так набор + + + + + : если последовательность обладает свойством 1, она не может обладать свойством 5)

Задача1
Укажите все наборы, имеющие смысл. Для каждого из них постройте последовательность, характеризуемую этим набором

Задача2
Докажите, что остальные наборы не имеют смысла