Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ....

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.

Решение
Решим более общую задачу: пусть k учеников занимаются в n кружках (из трех человек), k ≤ n. Предположим противное: каждые два кружка либо не пересекаются, либо пересекаются ровно по двум ученикам. Заметим, что если кружки K и L пересекаются с кружком M, то они пересекаются и между собой (их пересечения с M имеют общий элемент). Значит, кружки разбиваются на группы пересекающихся между собой кружков. Каждой группе кружков соответствует группа учеников – объединение их составов. Эти группы также не пересекаются. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ.
Поскольку кружков больше, чем учеников, в какой-то группе это неравенство также сохраняется. Поставим в соответствие каждой паре кружков этой группы пару учеников, каждый из которых ходит ровно в один из этих кружков. Пар кружков больше, чем пар учеников, поэтому какой-то паре учеников {a, b} соответствует по крайней мере две пары кружков {a, c, d}, {b, c, d} и {a, u, v}, {b, u, v}. Но кружки {a, c, d} и {b, u, v} не могут иметь двух общих учеников, поскольку пары {c, d} и {u, v} не совпадают. Противоречие.
Второй способ.
Если в группе, содержащей некоторый кружок {a, b, c}, есть кружки, содержащие хотя бы две из трех пар {a, b}, {a, c}, {b, c}, скажем кружок {a, b, d} и кружок {a, c, e}, то d = e (два последних кружка должны иметь двух общих членов). Единственный возможный кружок, пересекающийся с каждым из этих трех по двум элементам, – это {b, c, d}. Таким образом, в такой группе не более 4 кружков, куда ходят не менее 4 учеников.
Если же все кружки группы содержат только одну из трех указанных пар (например, {a, b}), то количество кружков в ней на 2 меньше количества всех учеников, их посещающих.
Итак, число кружков не превосходит числа учеников в классе.

Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Старый сапожник Карл сшил сапоги и послал своего сына Ганса на базар – продать их за 25 талеров. На базаре к мальчику подошли два инвалида (один без левой ноги, другой – без правой) и попросили продать им по сапогу. Ганс согласи....

Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Старый сапожник Карл сшил сапоги и послал своего сына Ганса на базар – продать их за 25 талеров. На базаре к мальчику подошли два инвалида (один без левой ноги, другой – без правой) и попросили продать им по сапогу. Ганс согласился и продал каждый сапог за 12,5 талеров.
Когда мальчик пришёл домой и рассказал всё отцу, Карл решил, что инвалидам надо было продать сапоги дешевле – каждому за 10 талеров. Он дал Гансу 5 талеров и велел вернуть каждому инвалиду по 2,5 талера.
Пока мальчик искал на базаре инвалидов, он увидел, что продают сладости, не смог удержаться и истратил 3 талера на конфеты. После этого он нашёл инвалидов и отдал им оставшиеся деньги – каждому по одному талеру. Возвращаясь домой, Ганс понял, как нехорошо он поступил. Он рассказал всё отцу и попросил прощения. Сапожник сильно рассердился и наказал сына, посадив его в тёмный чулан.
Сидя в чулане, Ганс задумался. Получалось, что раз он вернул по одному талеру, то инвалиды заплатили за каждый сапог по 11,5 талеров: 12,5 – 1 = 11,5. Значит, сапоги стоили 23 талера: 2·11,5 = 23. И 3 талера Ганс истратил на конфеты, следовательно, всего получается 26 талеров: 23 3 = 26. Но ведь было-то 25 талеров! Откуда же взялся лишний талер?

Подсказка
Подумайте, сколько денег должен был получить Карл, сколько он их получил и почему.

Решение
Инвалиды заплатили за сапоги 23 талера, но Карл от них получил только 20, поскольку остальные 3 талера Ганс истратил на конфеты. Ганс, сидя в чулане, складывал доход (23 талера) с расходом (3 талера). Эта сумма не имеет никакого смысла. Другое дело, если бы он вычислил разность дохода и расхода – тогда остался бы "чистый" доход, т.е. те самые 20 талеров, которые в итоге получил Карл.

Сложность: 2
Классы: 6,7
Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?

Подсказка
Рассмотрите людей, являющихся математиками и философами одновременно.
....

Сложность: 2
Классы: 6,7
Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?

Подсказка
Рассмотрите людей, являющихся математиками и философами одновременно.

Решение
Обозначим через x число людей, являющихся математиками и философами одновременно. Тогда число математиков равно 7x, а число философов — 9x. Если x$ \ne$ 0, то философов больше. А что значит, что x = 0? Это значит, что ни тех, ни других нет вообще, то есть их ''поровну''. Это правильный ответ, формально удовлетворяющий условию задачи. И те, кто его указал, вдвойне молодцы! Хотя решение засчитывалось и тем, кто разобрал только случай, когда математики всё-таки есть.

Ответ
Если есть хотя бы один философ или математик, то философов больше.

Сложность: 2
Классы: 5,6
В комнате находятся 85 воздушных шаров — красных и синих. Известно, что: 1) по крайней мере один из шаров красный, 2) из каждой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один синий. Сколько в комнате красных шаров?
....

Сложность: 2
Классы: 5,6
В комнате находятся 85 воздушных шаров — красных и синих. Известно, что: 1) по крайней мере один из шаров красный, 2) из каждой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один синий. Сколько в комнате красных шаров?

Подсказка
Подумайте, может ли в комнате быть два красных шара.

Решение
Поскольку среди двух любых шаров один — синий, то двух красных шаров в комнате быть не может. Значит, в комнате находятся 84 синих воздушных шара и 1 — красный.

Сложность: 2
Классы: 5
В 10-этажном доме на первом этаже живет 1 человек, на втором — 2, на третьем — 3, на четвертом — 4, ... на десятом — 10. На каком этаже лифт останавливается чаще всего?

Решение
На первом.

Сложность: 2
Классы: 5
В 10-этажном доме на первом этаже живет 1 человек, на втором — 2, на третьем — 3, на четвертом — 4, ... на десятом — 10. На каком этаже лифт останавливается чаще всего?

Решение
На первом.