В тр ABC угB=P/2, BE - биссектриса угла B (точка E лежит на стороне AC), BO/OE=V3/V2, где O - центр вписанной в трABC окружности. Найти углы трABC

В тр ABC угB=P/2, BE - биссектриса угла B (точка E лежит на стороне AC), BO/OE=V3/V2, где O - центр вписанной в трABC окружности. Найти углы трABC

Даны 2-е концентрических окружности. Доказать, что сумма квадратов расстояний от точки одной окружности до концов диаметра другой окружности не зависит ни от выбранной точки, ни от выбранного диаметра.

Даны 2-е концентрических окружности. Доказать, что сумма квадратов расстояний от точки одной окружности до концов диаметра другой окружности не зависит ни от выбранной точки, ни от выбранного диаметра.

AOB - сектор круга радиуса r, угол AOB равен a

Продолжение медианы трABC, проведённой из A, пересекает описанную окружность в точке D. AC=DC=1. Найти BC.

Продолжение медианы трABC, проведённой из A, пересекает описанную окружность в точке D. AC=DC=1. Найти BC.

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается отрезка AB в точке E. Найти расстояние от точки E до прямой CD, если AD=4, BC=3.

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается отрезка AB в точке E. Найти расстояние от точки E до прямой CD, если AD=4, BC=3.

В полукруг помещены две окружности диаметров d и D, где d

Из точки A, лежащей вне окружности радиуса R, проведена секущая, не проходящая через центр O окружности. Пусть B и C - точки, в которых секущая пересекает окружность. Найти tg(угAOB/2), tg(угAOC/2), если AO=a.

Из точки A, лежащей вне окружности радиуса R, проведена секущая, не проходящая через центр O окружности. Пусть B и C - точки, в которых секущая пересекает окружность. Найти tg(угAOB/2), tg(угAOC/2), если AO=a.

Из точки A, лежащей на окр-ти радиуса R проведены две хорды: AC и AB. Эти хорды лежат по одну сторону от диаметра окр-ти, проходящего через точку A. Дана длина b большей хорды и угBAC=y. Найти радиус окр-ти, которая касается хорд AB и AC и дуги BC.

Из точки A, лежащей на окр-ти радиуса R проведены две хорды: AC и AB. Эти хорды лежат по одну сторону от диаметра окр-ти, проходящего через точку A. Дана длина b большей хорды и угBAC=y. Найти радиус окр-ти, которая касается хорд AB и AC и дуги BC.

Пусть ABCD - произвольный 4-х угольник. K,L,M,N - середины AB,BC,CD,AD соответственно. Доказать, что KLMN - параллелограмм.

Пусть ABCD - произвольный 4-х угольник. K,L,M,N - середины AB,BC,CD,AD соответственно. Доказать, что KLMN - параллелограмм.

Около квадрата BEFC описана окружность радиуса 2V2. Точка P лежит на продолжении отрезка BC за точку C, причём PC=V28 - 2. Через точку P проведена секущая PA, пересекающая окружность в точках D и A. Известно, что PD=4, уг BAC - тупой. Найти угBPA

Около квадрата BEFC описана окружность радиуса 2V2. Точка P лежит на продолжении отрезка BC за точку C, причём PC=V28 - 2. Через точку P проведена секущая PA, пересекающая окружность в точках D и A. Известно, что PD=4, уг BAC - тупой. Найти угBPA

ABCD - параллелограмм, AB=1, BC=2, угABC тупой. Через каждую из точек B и D проведено по 2-е прямые, одна из которых перпедикулярна AB, а 2-ая перпендикулярна BC. В пересечении этих 4-х прямых получился параллелограмм, подобный ABCD. Найти S(ABCD)

ABCD - параллелограмм, AB=1, BC=2, угABC тупой. Через каждую из точек B и D проведено по 2-е прямые, одна из которых перпедикулярна AB, а 2-ая перпендикулярна BC. В пересечении этих 4-х прямых получился параллелограмм, подобный ABCD. Найти S(ABCD)

В трапеции ABCD диагонали пересекаются под прямым углом и одно основание её в 2 раза больше другого. Отношение длин боковых сторон равно m. Найти боковые стороны, если сумма квадратов длин диагоналей равна d^2.

В трапеции ABCD диагонали пересекаются под прямым углом и одно основание её в 2 раза больше другого. Отношение длин боковых сторон равно m. Найти боковые стороны, если сумма квадратов длин диагоналей равна d^2.

В трапеции ABCD основание AD больше основания BC. Известно, что AD=CD=14/3, угBAD=P/2, угBCD=5P/6. На основании AD построен AED. Точки B и E лежат по одну сторону от AD и AE=ED. Длина высоты, опущенной из точки E на прямую AD, равна 7/5. Найти площадь общей части трапец....

В трапеции ABCD основание AD больше основания BC. Известно, что AD=CD=14/3, угBAD=P/2, угBCD=5P/6. На основании AD построен AED. Точки B и E лежат по одну сторону от AD и AE=ED. Длина высоты, опущенной из точки E на прямую AD, равна 7/5. Найти площадь общей части трапеции ABCD и трAED.

Дан прямоугольник ABCD, в котором AB=6, AD=3(1 V2/2). В нём лежат две окружности. Окружность радиуса 2 с центром в точке K касается сторон AB и AD. Окружность радиуса 1 с центром в точке L касается стороны CD и первой окружности. Пусть M - основание перпендикуляра, опущ....

Дан прямоугольник ABCD, в котором AB=6, AD=3(1 V2/2). В нём лежат две окружности. Окружность радиуса 2 с центром в точке K касается сторон AB и AD. Окружность радиуса 1 с центром в точке L касается стороны CD и первой окружности. Пусть M - основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую KL. Найти площадь тр CML

о свойстве ортоцентра
в тр-ке ABC проведены высоты AD, BE, CF, пересекающиеся в точке Z. Док-ть, что для радиусов описанных окружностей справедливо: R(ABC)=R(BZC)=R(ZAC)=R(BZA)

о свойстве ортоцентра
в тр-ке ABC проведены высоты AD, BE, CF, пересекающиеся в точке Z. Док-ть, что для радиусов описанных окружностей справедливо: R(ABC)=R(BZC)=R(ZAC)=R(BZA)

Обратные теоремы о вписанной и описанной окружностях четырёхугольника.
1) Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.
2) Если сумма противоположных углов выпуклого четырёх угольника равна P, то вокруг него можн....

Обратные теоремы о вписанной и описанной окружностях четырёхугольника.
1) Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.
2) Если сумма противоположных углов выпуклого четырёх угольника равна P, то вокруг него можно описать окружность

трABC вписан в круг, AB=BC, угол ABC=b. Параллельно AC проведена средняя линия треугольника, продолженная до пересечения с окружностью в точках D и E. Найти S(трDBE)/S(трABC)

трABC вписан в круг, AB=BC, угол ABC=b. Параллельно AC проведена средняя линия треугольника, продолженная до пересечения с окружностью в точках D и E. Найти S(трDBE)/S(трABC)

Дан квадрат ABCD.На сторонах AB,BC,CD и AD соответственно выбраны точки P,Q,R,S таким образом, что AP/PB=p, BQ/QC=q, CR/RD=r, DS/SA=S. Отрезки PR и QS пересекаются в точке O. Найти PO/OR.

Дан квадрат ABCD.На сторонах AB,BC,CD и AD соответственно выбраны точки P,Q,R,S таким образом, что AP/PB=p, BQ/QC=q, CR/RD=r, DS/SA=S. Отрезки PR и QS пересекаются в точке O. Найти PO/OR.

Соотношения отрезков и площадей в параллелограммах и квадратах.
Дано: ABCD - паралеллограмм. Стороны AB и CD разбиты в отношениях a:b:c и d:f:l соответственно. Площадь ABCD равна S0. Найти SтрKSR.

Соотношения отрезков и площадей в параллелограммах и квадратах.
Дано: ABCD - паралеллограмм. Стороны AB и CD разбиты в отношениях a:b:c и d:f:l соответственно. Площадь ABCD равна S0. Найти SтрKSR.

В трABC имеем AB=BC, угол B = b. Биссектриса AD угла A пересекает описанную около трABC окружность в точке E. Найти S(трBDE)/S(трABC)

В трABC имеем AB=BC, угол B = b. Биссектриса AD угла A пересекает описанную около трABC окружность в точке E. Найти S(трBDE)/S(трABC)

Дан трABC BA1/A1C=p, CB1/B1A=q, AC1/C1B=r. Найти S(трPQR)/S(трABC)

Дан трABC BA1/A1C=p, CB1/B1A=q, AC1/C1B=r. Найти S(трPQR)/S(трABC)

Окружность, вписанная в трABC, касается стороны BC в точке L. Точка P лежит на стороне AB, а точка Q на стороне BC так, что PQ касается окружности и PQ||AC. Известно, что BL=3 и AP/PB=7/5 Найти периметр трABC

Окружность, вписанная в трABC, касается стороны BC в точке L. Точка P лежит на стороне AB, а точка Q на стороне BC так, что PQ касается окружности и PQ||AC. Известно, что BL=3 и AP/PB=7/5 Найти периметр трABC

Две окружности радиусов R и r (R>r) касаются внешним образом. Пусть M - точка пересечения линии центров с общей касательной названных окружностей, а K - точка касания большей окружности с общей касательной. Найти длину отрезка MK

Две окружности радиусов R и r (R>r) касаются внешним образом. Пусть M - точка пересечения линии центров с общей касательной названных окружностей, а K - точка касания большей окружности с общей касательной. Найти длину отрезка MK

Отрезок BE разбивает трABC на два подобных треугольника ABE и BEC, причём коэффициент подобия равен V3. Найти углы трABC.

Отрезок BE разбивает трABC на два подобных треугольника ABE и BEC, причём коэффициент подобия равен V3. Найти углы трABC.

В треугольник со сторонами 10,17,21 вписан прямоугольник с периметром 24см так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найти стороны прямоугольника. (примечание: не верь глазам своим!)

В треугольник со сторонами 10,17,21 вписан прямоугольник с периметром 24см так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника. Найти стороны прямоугольника. (примечание: не верь глазам своим!)

Пусть трABC - остроугольный, AA1 и BB1 - его высоты. Точка A1 лежит на стороне BC, точка B1 на AC. Доказать, что трA1B1C1 & трABC.

Пусть трABC - остроугольный, AA1 и BB1 - его высоты. Точка A1 лежит на стороне BC, точка B1 на AC. Доказать, что трA1B1C1 & трABC.

Дан произвольный трABC, в который вписана окружность радиуса r. В углы этого треугольника вписаны окружности, касающиеся сторон этого треугольника (прилежащих к этим углам) и вписанной окружности. Радиусы этих окружностей для углов A,B,C r1,r2,r3 соответственно. Радиус....

Дан произвольный трABC, в который вписана окружность радиуса r. В углы этого треугольника вписаны окружности, касающиеся сторон этого треугольника (прилежащих к этим углам) и вписанной окружности. Радиусы этих окружностей для углов A,B,C r1,r2,r3 соответственно. Радиусы r1,r2,r3 известны. Найти r.

Обратная теорема Менелая
Пусть ABC - треугольник. C1 принадлежит AB, A1 принадлежит BC, B1 принадлежит продолжению стороны AC. Причём AC1/C1B * BA1/A1C * CB1/B1A = 1 Тогда точки A1,B1,C1 лежат на одной прямой

Обратная теорема Менелая
Пусть ABC - треугольник. C1 принадлежит AB, A1 принадлежит BC, B1 принадлежит продолжению стороны AC. Причём AC1/C1B * BA1/A1C * CB1/B1A = 1 Тогда точки A1,B1,C1 лежат на одной прямой

Точка A1,B1,C1 лежат соответственно на сторонах BC,AC и AB трABC, причём AA1,BB1,CC1 пересекаются в одной точке. Доказать, что S(трA1B1C1)<=½*S(трABC)

Точка A1,B1,C1 лежат соответственно на сторонах BC,AC и AB трABC, причём AA1,BB1,CC1 пересекаются в одной точке. Доказать, что S(трA1B1C1)<=½*S(трABC)

Дан треугольник ABC со сторонам a,b,c. Известная сторона с, известно расстояние от центра описанной окружности до точки пересечения медиан, равное d. Известно, что a^2 b^2=2c^2. Найти R

Дан треугольник ABC со сторонам a,b,c. Известная сторона с, известно расстояние от центра описанной окружности до точки пересечения медиан, равное d. Известно, что a^2 b^2=2c^2. Найти R

На продолжении стороны AC трABC взята точка D (DC=1/2AC), а на стороне BC точка E (BE=1/2EC). Точка D соединена с серединой F стороны AB отрезком прямой FD, которая пересекает AE в точке Q. В каком отношении точка Q делит отрезок AE? (т.е. AQ/QE=?)

На продолжении стороны AC трABC взята точка D (DC=1/2AC), а на стороне BC точка E (BE=1/2EC). Точка D соединена с серединой F стороны AB отрезком прямой FD, которая пересекает AE в точке Q. В каком отношении точка Q делит отрезок AE? (т.е. AQ/QE=?)

Площадь трапеции ABCD равна S0=30. Точка P - середина стороны AB. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что 2CD=3RD. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q, AD=2BC. Найти SтрAPQ

Площадь трапеции ABCD равна S0=30. Точка P - середина стороны AB. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что 2CD=3RD. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q, AD=2BC. Найти SтрAPQ

Доказать, что площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициентов подобия.

Доказать, что площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициентов подобия.

В треугольнике ABC на стороне AB взята точка K так, что AK/BK=½ , а на стороне BC точка L так, что CL/BL=2/1. Q - точка пересечения прямых AL и CK. Найти площадь S(трABC), если известно, что площадь S(трBQC)=1

В треугольнике ABC на стороне AB взята точка K так, что AK/BK=½ , а на стороне BC точка L так, что CL/BL=2/1. Q - точка пересечения прямых AL и CK. Найти площадь S(трABC), если известно, что площадь S(трBQC)=1

В треугольнике ABC отрезки AD и BE, пересекаясь в точке Q, делят друг друга на части BQ/QE=m, AQ/QD=y Найти, на какие части указанные отрезки делят противоположные стороны (т.е. BD/DC=? и AE/EC=?)

В треугольнике ABC отрезки AD и BE, пересекаясь в точке Q, делят друг друга на части BQ/QE=m, AQ/QD=y Найти, на какие части указанные отрезки делят противоположные стороны (т.е. BD/DC=? и AE/EC=?)

Теорема Менелая
На сторонах AB и BC тр ABC взяты точки D и E так, что AD/DB=a/b BE/EC=c/d. Через точки D и E проведена прямая до пересечения с AC в точке F. Найти отношение CF/AF=?

Теорема Менелая
На сторонах AB и BC тр ABC взяты точки D и E так, что AD/DB=a/b BE/EC=c/d. Через точки D и E проведена прямая до пересечения с AC в точке F. Найти отношение CF/AF=?

На стороне LO острого угла LON взята точка M. Через точки L и M проходит окружность, касающаяся точки N. На дуге MN (не содержащей точку L) взята точка K. Расстояния от K до LM,MN,LN равны L,M,N. Найти расстояние от точки K до ON.

На стороне LO острого угла LON взята точка M. Через точки L и M проходит окружность, касающаяся точки N. На дуге MN (не содержащей точку L) взята точка K. Расстояния от K до LM,MN,LN равны L,M,N. Найти расстояние от точки K до ON.

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, длина диагонали BD=12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около трAOD и трCOD равно 16. Радиус окружности, описанной около трAOB, равен 5.Найти площадь параллелограмма ABCD.

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, длина диагонали BD=12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около трAOD и трCOD равно 16. Радиус окружности, описанной около трAOB, равен 5.Найти площадь параллелограмма ABCD.

Через некоторую точку С отрезка AB проведена прямая L. Построить трABS с вершиной S принадлежащей прямой L так, чтобы прямая L являлась его биссектрисой.

Через некоторую точку С отрезка AB проведена прямая L. Построить трABS с вершиной S принадлежащей прямой L так, чтобы прямая L являлась его биссектрисой.

Каждая вершины параллелограмма соединена с серединами двух противоположных сторон. Какую часть площади параллелограмма составляет площадь фигуры, ограниченной проведёнными линиями.

Каждая вершины параллелограмма соединена с серединами двух противоположных сторон. Какую часть площади параллелограмма составляет площадь фигуры, ограниченной проведёнными линиями.

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружность в точках C и D, лежащих по разные стороны от прямой AB. Касательные к этим окружностям в точках C и D пересекаются в точке E. AB=10, AC=16, AD=15. Найти AE

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружность в точках C и D, лежащих по разные стороны от прямой AB. Касательные к этим окружностям в точках C и D пересекаются в точке E. AB=10, AC=16, AD=15. Найти AE

На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D так, что CD=V13 и sin(ACD):sin(BCD)=4:3. Через середину отрезка CD проведена прямая, пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно. Известно, что угол ACB = 120 градусов, площадь трMCN = 3V3, а расстояние от то....

На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D так, что CD=V13 и sin(ACD):sin(BCD)=4:3. Через середину отрезка CD проведена прямая, пересекающая стороны AC и BC в точках M и N соответственно. Известно, что угол ACB = 120 градусов, площадь трMCN = 3V3, а расстояние от точки M до прямой AB в 2 раза больше расстояния от точки N до этой же прямой. Найти площадь тр ABC

Диагональ AC выпуклого 4-угольника ABCD является диаметром описанной около него окружности. Найти отношение S(ABC)/S(ACD), если известно, что диагональ BD делит AC в отношении 2:1, а угол BAC=30 градусов

Диагональ AC выпуклого 4-угольника ABCD является диаметром описанной около него окружности. Найти отношение S(ABC)/S(ACD), если известно, что диагональ BD делит AC в отношении 2:1, а угол BAC=30 градусов

Три окружности попарно касаются друг друга внешним образом в точках K,L,M. KL=5, LM=6, MK=8. Найти радиус наименьшей окружности.

Три окружности попарно касаются друг друга внешним образом в точках K,L,M. KL=5, LM=6, MK=8. Найти радиус наименьшей окружности.

В треугольнике KLM стороны KL=5, LM=6, KM=7, O - центр впис окр-ти. Прямые KO,OL,MO пересекают стороны LM, KM, KL в точках A,B,C Найти отношение площадей трABC и трKLM

В треугольнике KLM стороны KL=5, LM=6, KM=7, O - центр впис окр-ти. Прямые KO,OL,MO пересекают стороны LM, KM, KL в точках A,B,C Найти отношение площадей трABC и трKLM

В 4-х угольник ABCD вписаны окружность радиуса 2. Угол DAB прямой. Стороны AB=5, BC=6 Найти площадь 4-х угольника ABC

В 4-х угольник ABCD вписаны окружность радиуса 2. Угол DAB прямой. Стороны AB=5, BC=6 Найти площадь 4-х угольника ABC

В треугольнике ABC проведены медианы BM и биссектриса BP, известно, что угABM=P/4, угCBM=P/6, AC=6 Найти PM

В треугольнике ABC проведены медианы BM и биссектриса BP, известно, что угABM=P/4, угCBM=P/6, AC=6 Найти PM

В 5-и угольнике ABCDE вписана окр-ть, точка P - точка касания окр-ти со стороной BC. Длины всех сторон 5-и угольника - целые числа. AB=1, CD=3. Найти длину отрезка BP

В 5-и угольнике ABCDE вписана окр-ть, точка P - точка касания окр-ти со стороной BC. Длины всех сторон 5-и угольника - целые числа. AB=1, CD=3. Найти длину отрезка BP

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, диагонали AC и BD перпендикулярны. Расстояние от центра окр-ти до стороны AD равно 2. Найти длину отрезка BC

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, диагонали AC и BD перпендикулярны. Расстояние от центра окр-ти до стороны AD равно 2. Найти длину отрезка BC

Дана равнобочная трапеция, вписанная и описанная окружностями. Отношение высоты к радиусу описанной окружности равно V(2/3). Найти углы трапеции

Дана равнобочная трапеция, вписанная и описанная окружностями. Отношение высоты к радиусу описанной окружности равно V(2/3). Найти углы трапеции