Метод группировки с добавлением фиктивных (виртуальных) слагаемых для СУММ КВАДРАТОВ
1)Докажите, что произведение суммы 2-х квадратов на сумму 2-х квадратов есть снова сумма 2-х квадратов, т.е.
(a^2 + b^2 )(x^2 + y^2 ) = (?_1)^2 + (?_2)^2
например, вот так:
(17^2 + 3^2 )(8^2 + 11^2 ) = 103^2 + 211^2
Подсказка: квадраты конструировать с помощью формул
a^2 + 2 ∗ a ∗ b + b^2 = (a + b)^2
2)(*)Докажите, что произведение суммы 4-х квадратов на сумму 4-х квадратов есть снова сумма 4-х квадратов, т.е.
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 )(x^2 + y^2 + z^2 + p^2 ) = (?_1)^2 + (?_2)^2 + (?_3)^2 + (?_4)^2
Подсказка: квадраты конструировать с помощью формул
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd = (a + b + c + d)^2
3)(**)Докажите, что произведение суммы 8-и квадратов на сумму 8-и квадратов есть снова сумма 8-и квадратов, т.е.
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + u^2 + t^2 + s^2 )(x^2 + y^2 + z^2 + p^2 + k^2 + j^2 + n^2 + m^2 ) =
(?_1)^2 + (?_2)^2 + (?_3)^2 + (?_4)^2 + (?_5)^2 + (?_6)^2 + (?_7)^2 + (?_8)^2
Подсказка: квадраты конструировать с помощью формул
(a + b + c + d + e + f + g + h)^2 = ...
Примечание 1:
Для 16-и квадратов неверно.
Примечание 2:
Формулы из задачи 10 можно доказать легче, чем с помощью группировки - с помощью гиперкомплексных чисел. Случай 2-х квадратов - комплексные числа, 4-х - кватернионы, 8-и - октавы.
Примечание 3:
Теорема о невозможности 16-и: теорема Фробениуса
|
|
|
|
