Докажите, обоснуйте равенство
a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c

Подсказки:
1) подставьте числа вместо букв и поймите, что происходит с числами
Подсказка: Подставьте, например, (5 + 3)*7=5*7 + 3*7 и поймите смысл указанного равенс....

Докажите, обоснуйте равенство
a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c

Подсказки:
1) подставьте числа вместо букв и поймите, что происходит с числами
Подсказка: Подставьте, например, (5 + 3)*7=5*7 + 3*7 и поймите смысл указанного равенства
2) поймите геометрический смысл доказываемого равенства.
Подсказка: Подсчитайте площадь прямоугольника со сторонами B + C и A двумя способами (целиком и по частям)

Примечание:
Указанное равенство лежит в основе ВСЕХ формул школьной алгебры и иначе ещё называется "правило раскрытия скобок". Можно ещё помнить это так: мама "a" кормит каждого сына "b" и "c"

Раскрыть скобки
1) 5x(x − 2) = ...
2) (x^2 + 3xy)(2 + 7x + y) = ...

Раскрыть скобки
1) 5x(x − 2) = ...
2) (x^2 + 3xy)(2 + 7x + y) = ...

Разложение на множители=приведение подобных
1) 7x − 3x = ... (этот вид разложения называется «приведение подобных слагаемых» , «подобными» называются одночлены с одинаковой буквенной частью)
2) 55x^127yz^2 − 8z^2yx^127 + yz^2x^127 = ...

Разложение на множители=приведение подобных
1) 7x − 3x = ... (этот вид разложения называется «приведение подобных слагаемых» , «подобными» называются одночлены с одинаковой буквенной частью)
2) 55x^127yz^2 − 8z^2yx^127 + yz^2x^127 = ...

Привести подобные слагаемые
1)2a + b − a + 10b + 1 = ...
2)7x−2y = ... (если буквенная часть не совпадает, то складывать нельзя)
3)5a^2b + 7 + x^2y − 8ba^2 + 10xy = ...

Привести подобные слагаемые
1)2a + b − a + 10b + 1 = ...
2)7x−2y = ... (если буквенная часть не совпадает, то складывать нельзя)
3)5a^2b + 7 + x^2y − 8ba^2 + 10xy = ...

Раскрытие скобок и приведение подобных
1) (2a + b)(5b − 8a) = ...
2) (−2a + b − 2ab)(11a − 3ab) = ...

Раскрытие скобок и приведение подобных
1) (2a + b)(5b − 8a) = ...
2) (−2a + b − 2ab)(11a − 3ab) = ...

Разложение на множители
1) 5x^2y + 2yx^2z = ...
2) 8a^2b^3c + 3a^2cb^2 − b^3a^2c = ...
3) a^−5 + a^−3 = ...

Разложение на множители
1) 5x^2y + 2yx^2z = ...
2) 8a^2b^3c + 3a^2cb^2 − b^3a^2c = ...
3) a^−5 + a^−3 = ...

Метод группировки для разложения на множители
1) ax + 2yb + xb + 2ya=...
2) 14xy-15-21x + 10y=...
3) 2az + z-4a + zb-2-2b=...

Метод группировки для разложения на множители
1) ax + 2yb + xb + 2ya=...
2) 14xy-15-21x + 10y=...
3) 2az + z-4a + zb-2-2b=...

(!!!)Квадрат суммы и разности (разложить на множители методом группировки)
1) x^2 + 2xy + y^2 = ...
2) x^2 − 2xy + y^2 = ...
3) a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = ...

(!!!)Квадрат суммы и разности (разложить на множители методом группировки)
1) x^2 + 2xy + y^2 = ...
2) x^2 − 2xy + y^2 = ...
3) a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = ...

Разложить на множители методом расщепления

1)14x^2 + 5xy - y^2 + 6xz + 3yz=

2)-15x^2+41xy-3xz-14y^2+7yz=

....

Метод группировки с добавлением фиктивных (виртуальных) слагаемых для разложения на множители: надо прибавить и отнять одно и то же искуственно придуманное слагаемое, чтобы с ними возможно было проделать обычный метод группировки
1)(!!!)x^2 − y^2 = ... (Разность кв....

Метод группировки с добавлением фиктивных (виртуальных) слагаемых для разложения на множители: надо прибавить и отнять одно и то же искуственно придуманное слагаемое, чтобы с ними возможно было проделать обычный метод группировки
1)(!!!)x^2 − y^2 = ... (Разность квадратов)
2)(!!!)x^3 − y^3 = ... (Разность кубов)
3)(!!!)x^3 + y^3 = ... (Сумма кубов)
4)(*)x^5 − y^5 = ... (Разность пятых степеней)

Метод группировки с добавлением фиктивных (виртуальных) слагаемых для СУММ КВАДРАТОВ

1)Докажите, что произведение суммы 2-х квадратов на сумму 2-х квадратов есть снова сумма 2-х квадратов, т.е.
(a^2 + b^2 )(x^2 + y^2 ) = (?_1)^2 + (?_2)^2 ....

Метод группировки с добавлением фиктивных (виртуальных) слагаемых для СУММ КВАДРАТОВ

1)Докажите, что произведение суммы 2-х квадратов на сумму 2-х квадратов есть снова сумма 2-х квадратов, т.е.
(a^2 + b^2 )(x^2 + y^2 ) = (?_1)^2 + (?_2)^2
например, вот так:
(17^2 + 3^2 )(8^2 + 11^2 ) = 103^2 + 211^2
Подсказка: квадраты конструировать с помощью формул
a^2 + 2 ∗ a ∗ b + b^2 = (a + b)^2

2)(*)Докажите, что произведение суммы 4-х квадратов на сумму 4-х квадратов есть снова сумма 4-х квадратов, т.е.
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 )(x^2 + y^2 + z^2 + p^2 ) = (?_1)^2 + (?_2)^2 + (?_3)^2 + (?_4)^2
Подсказка: квадраты конструировать с помощью формул
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd = (a + b + c + d)^2

3)(**)Докажите, что произведение суммы 8-и квадратов на сумму 8-и квадратов есть снова сумма 8-и квадратов, т.е.
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + u^2 + t^2 + s^2 )(x^2 + y^2 + z^2 + p^2 + k^2 + j^2 + n^2 + m^2 ) = (?_1)^2 + (?_2)^2 + (?_3)^2 + (?_4)^2 + (?_5)^2 + (?_6)^2 + (?_7)^2 + (?_8)^2
Подсказка: квадраты конструировать с помощью формул
(a + b + c + d + e + f + g + h)^2 = ...

Примечание 1:
Для 16-и квадратов неверно.
Примечание 2:
Формулы из задачи 10 можно доказать легче, чем с помощью группировки - с помощью гиперкомплексных чисел. Случай 2-х квадратов - комплексные числа, 4-х - кватернионы, 8-и - октавы.
Примечание 3:
Теорема о невозможности 16-и: теорема Фробениуса

Куб суммы и разности
1)(!!!) x^3 + 3x^2y + 3y^2x + y^3 = ...
2)(!!!) x^3 − 3x^2y + 3xy^2 − y^3 = ...

Куб суммы и разности
1)(!!!) x^3 + 3x^2y + 3y^2x + y^3 = ...
2)(!!!) x^3 − 3x^2y + 3xy^2 − y^3 = ...

Некоторые более сложные примеры

Разложить на множители
1)(*) x^4 + 4 = ...
2)(*) 2bc + a^2 − b^2 − c^2 = ...
3)(*) x^4 − 21x^2 + 4 = ...
4)(**) x^3 + y^3 + z^3 − 3xyz = ...
5)(*) (x + y + z)^3 − ....

Некоторые более сложные примеры

Разложить на множители
1)(*) x^4 + 4 = ...
2)(*) 2bc + a^2 − b^2 − c^2 = ...
3)(*) x^4 − 21x^2 + 4 = ...
4)(**) x^3 + y^3 + z^3 − 3xyz = ...
5)(*) (x + y + z)^3 − x^3 − y^3 − z^3 = ...
6)(*) x^4 + x^2y^2 + y^4 = ...
7)(*) a^4 − 2a^3 + a^2 − 1 = ...
8)(*) c^8 − c^4 − 2c^2 − 1 = ...
9)(*) 8x^3 + y^3 + 6y^2 + 12y + 8 = ...

Волшебный автомат
В четырёх ячейках памяти игрального автомата записаны числа a, b, c,d. Автомат может сложить или вычесть два числа (бесплатно) или перемножить их (за 1 рубль); результат он записывает в новую ячейку. Может ли игрок, потратив всего три р....

Волшебный автомат
В четырёх ячейках памяти игрального автомата записаны числа a, b, c,d. Автомат может сложить или вычесть два числа (бесплатно) или перемножить их (за 1 рубль); результат он записывает в новую ячейку. Может ли игрок, потратив всего три рубля, добиться того, что каких-то трёх ячейках будут записаны числа 2(ab + cd), 2(ac + bd) и 2(ad + bc)? (Исходные числа игроку неизвестны).

ЗАМЕЧАНИЕ: Нельзя разложить на множители выражения следующего вида
1) a + b
2) a − b
3) a^2 + b^2 (сумму квадратов и вообще сумму чётных степеней)
4) a^2 + ab b^2 (неполный квадрат суммы)
5) a^2 − ab + b^2 (неполный....

ЗАМЕЧАНИЕ: Нельзя разложить на множители выражения следующего вида
1) a + b
2) a − b
3) a^2 + b^2 (сумму квадратов и вообще сумму чётных степеней)
4) a^2 + ab b^2 (неполный квадрат суммы)
5) a^2 − ab + b^2 (неполный квадрат разности)
6) a^2 + b^3

Докажите равенство геометрически
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Подсказка:
Рассмотрите квадрат со стороной a + b и посчитайте его площадь двумя способами: целиком и по частям

Докажите равенство геометрически
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Подсказка:
Рассмотрите квадрат со стороной a + b и посчитайте его площадь двумя способами: целиком и по частям

Докажите равенство геометрически
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Докажите равенство геометрически
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Найдите, чему равно
(a + b)^4 =
Наблюдение:
Заметьте себе, что геометрический смысл равенства для четвёртой степени - это объём четырёхмерного куба. Там наше воображение отказывается нам помогать, а алгебраически по-прежнему можно посчитать!

Найдите, чему равно
(a + b)^4 =
Наблюдение:
Заметьте себе, что геометрический смысл равенства для четвёртой степени - это объём четырёхмерного куба. Там наше воображение отказывается нам помогать, а алгебраически по-прежнему можно посчитать!