Pangeya
Cancel
You are in the mode
of Guest
LOGIN
E-mail / Login / Phone
Password
Forgot password
View page of user
Математика Наука (Maths Science)
Роман Математика Roman Matematika
View objects
PORTFOL
IO
PROGA
advance
LIMITS
Show groups
objects 1-142 from 142 (Роман Математика Roman Matematika)
Chronological▼
Alphabetical▼
Alfavit_en▼
Foto
0
0
Name
1
STRUCTURA STRUCTURA
Object description
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
2
0
0
1
2
User properties
7
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
2
elem_algebra_003_017 (СХЕМА Решения квадратных уравнений)
elem_algebra_003_017 (SHEMA Resheniya kvadratnyh uravnenij)
Object description
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
2
0
0
1
1
User properties
8
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
3
elem_algebra_006_025 (Подстановка среднего арифметического и доказательство о не существовании корней)
elem_algebra_006_025 (Podstanovka srednego arifmeticheskogo i dokazatelstvo o ne sushestvovanii kornej)
Object description
Подстановка среднего арифметического и доказательство о не существовании корней x^5 + (x − 2)^5 = 32
Подстановка среднего арифметического и доказательство о не существовании корней x^5 + (x − 2)^5 = 32
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
8
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
4
elem_algebra_006_024 (Подстановка среднего арифметического)
elem_algebra_006_024 (Podstanovka srednego arifmeticheskogo)
Object description
Подстановка среднего арифметического
(x + 1)^4 + (x + 3)^4 = 16
Подстановка среднего арифметического
(x + 1)^4 + (x + 3)^4 = 16
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
8
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
5
elem_algebra_006_023 (Использование Бинома Ньютона)
elem_algebra_006_023 (Ispolzovanie Binoma Nyutona)
Object description
Использование Бинома Ньютона
1) (x + 2)^3 + x^2 = 28
2) x^4 + (x − 1)^4 = 17
Использование Бинома Ньютона
1) (x + 2)^3 + x^2 = 28
2) x^4 + (x − 1)^4 = 17
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
8
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
6
elem_algebra_006_022 (Уравнения с иррациональными коэффициентами)
elem_algebra_006_022 (Uravneniya s irracionalnymi koefficientami)
Object description
Уравнения с иррациональными коэффициентами
2t^3 − 3√3t^2 + 3√3 = 0
Уравнения с иррациональными коэффициентами
2t^3 − 3√3t^2 + 3√3 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
8
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
7
elem_algebra_006_021 (Тригонометрическая подстановка: сколько корней имеет уравнение на отрезке по x: [0;1])
elem_algebra_006_021 (Trigonometricheskaya podstanovka: skolko kornej imeet uravnenie na otrezke po x: 0;1)
Object description
Тригонометрическая подстановка: сколько корней имеет уравнение на отрезке по x: [0;1]
8x(1 − 2x^2)(8x^4 − 8x^2 + 1) = 1
Тригонометрическая подстановка: сколько корней имеет уравнение на отрезке по x: [0;1]
8x(1 − 2x^2)(8x^4 − 8x^2 + 1) = 1
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
7
0
0
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
8
elem_algebra_006_020 (Нахождение иррациональных корней с допущениями)
elem_algebra_006_020 (Nahozhdenie irracionalnyh kornej s dopusheniyami)
Object description
Нахождение иррациональных корней с допущениями
3x^3 + 5x^2 − 9x − 2 = 0
Нахождение иррациональных корней с допущениями
3x^3 + 5x^2 − 9x − 2 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
6
0
0
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
9
elem_algebra_006_019 (Сворачивание биномиальных формул)
elem_algebra_006_019 (Svorachivanie binomialnyh formul)
Object description
Сворачивание биномиальных формул
x^5 − 35x^4 + 490x^3 − 3430x^2 + 12005x − 16807 = 0
Сворачивание биномиальных формул
x^5 − 35x^4 + 490x^3 − 3430x^2 + 12005x − 16807 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
7
0
0
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
10
elem_algebra_006_018 (Неполная замена аргументов)
elem_algebra_006_018 (Nepolnaya zamena argumentov)
Object description
Неполная замена аргументов
(x^2 − x + 1)^4 − 6x^2(x^2 − x + 1)^2 + 5x^4 = 0
Неполная замена аргументов
(x^2 − x + 1)^4 − 6x^2(x^2 − x + 1)^2 + 5x^4 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
6
0
0
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
11
elem_algebra_006_017 (Уравнение с параметрами)
elem_algebra_006_017 (Uravnenie s parametrami)
Object description
Уравнение с параметрами
x^4 − 3x^2 + 2(a − 1)x + 2a − a^2 = 0
Уравнение с параметрами
x^4 − 3x^2 + 2(a − 1)x + 2a − a^2 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
9
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
12
elem_algebra_006_016 (Сдвиг оси)
elem_algebra_006_016 (Sdvig osi)
Object description
Сдвиг оси
(6x 5)^2(3x + 2)(x + 1) = 35
Сдвиг оси
(6x 5)^2(3x + 2)(x + 1) = 35
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
9
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
13
elem_algebra_006_015 (Замена)
elem_algebra_006_015 (Zamena)
Object description
Замена
1) (x^2 − 6x)^2 − 2(x − 3)^2 = 81
2) (x^2 − 2x)^2 − 3x^2 + 6x − 4 = 0
3) (2x^2 + 3x − 1)^2 − 10x^2 − 15x + 9 = 0
4) (x^2 − 3x)^2 − 14x^2 + 42x + 40 = 0
Замена
1) (x^2 − 6x)^2 − 2(x − 3)^2 = 81
2) (x^2 − 2x)^2 − 3x^2 + 6x − 4 = 0
3) (2x^2 + 3x − 1)^2 − 10x^2 − 15x + 9 = 0
4) (x^2 − 3x)^2 − 14x^2 + 42x + 40 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
9
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
14
elem_algebra_006_014 (Обобщённая Теорема Виетта)
elem_algebra_006_014 (Obobshennaya Teorema Vietta)
Object description
Обобщённая Теорема Виетта
Обобщённая Теорема Виетта
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
11
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
15
elem_algebra_006_013 (Деление на x^2)
elem_algebra_006_013 (Delenie na x2)
Object description
Деление на x^2
1) (2x^2 − 3x + 1)(2x^2 + 5x + 1) = 9x^2
2) (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x^2
Деление на x^2
1) (2x^2 − 3x + 1)(2x^2 + 5x + 1) = 9x^2
2) (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x^2
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
5
0
0
1
2
1
1
1
User properties
13
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
Foto
0
0
Name
16
elem_algebra_006_012 (Схема Горнера [нахождение остатка от деления многочлена P(x) на (x-a) без самого деления)])
elem_algebra_006_012 (Shema Gornera nahozhdenie ostatka ot deleniya mnogochlena P(x) na (x-a) bez samogo deleniya))
Object description
Схема Горнера [нахождение остатка от деления многочлена P(x) на (x-a) без самого деления)]
x^3 − 3x − 2 = 0
Схема Горнера [нахождение остатка от деления многочлена P(x) на (x-a) без самого деления)]
x^3 − 3x − 2 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
8
0
0
1
2
3
4
5
1
1
1
User properties
19
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Foto
0
0
Name
17
elem_algebra_006_011 (Рациональные корни многочлена)
elem_algebra_006_011 (Racionalnye korni mnogochlena)
Object description
Рациональные корни многочлена
Формулировка
В многочлене вида A_nx^n + A_n−1x^n−1 + ... + A_1x^1 + A_0 = 0, A_n! = 0 Рациональные корни следует искать только среди чисел вида или - B_0/B_n, где B_0 - делитель A_0 и B_n - делитель A_n....
Рациональные корни многочлена
Формулировка
В многочлене вида A_nx^n + A_n−1x^n−1 + ... + A_1x^1 + A_0 = 0, A_n! = 0 Рациональные корни следует искать только среди чисел вида или - B_0/B_n, где B_0 - делитель A_0 и B_n - делитель A_n
Доказательство
Лемма 1
Если приведенное уравнение x^n + k_n−1x^n−1 + ... + k_1x^1 + k_0 = 0 имеет целый корень, то он обязательно будет делителем свободного члена k_n
Лемма 2
Приведенное уравнение x^n + k_n−1x^n−1 + ... + k_1x^1 + k_0 = 0 не может иметь ни одного дробного корня.
Задача 1
Найти рациональные корни многочленов
1) 2x^3 − 7x^2 + 5x − 1 = 0
2) x^3 − 3x − 2 = 0
Задача 2
Решить уравнения УГОЛКОМ
1) x^4 − 27x^2 − 14x + 120 = 0
2) x^4 − 5x^3 + 10x^2 − 10x + 4 = 0
3) x^4 − 4x^2 + 6x − 4 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
8
0
0
1
2
3
4
5
1
1
1
User properties
19
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Foto
0
0
Name
18
elem_algebra_006_010 (Теорема Безу и деление в столбик многочленов)
elem_algebra_006_010 (Teorema Bezu i delenie v stolbik mnogochlenov)
Object description
Теорема Безу и деление в столбик многочленов
Формулировка:
При делении многочлена n-ой степени относительно x, расположенного по убывающим степени x, на двучлен (x-a) остаток от деления равен значению делимого при x=a Доказательство:
Поделим многочлен P(x....
Теорема Безу и деление в столбик многочленов
Формулировка:
При делении многочлена n-ой степени относительно x, расположенного по убывающим степени x, на двучлен (x-a) остаток от деления равен значению делимого при x=a Доказательство:
Поделим многочлен P(x) на (x-a), получим P(x)=(x-a)Q(x) R(x), но R(x) имеет степень меньше многочлена (x-a) в силу того, что R(x) - остаток.(иначе кусок R(x) можно было бы включить в Q(x).
А значит R(x) -просто число. Подставляем x=a в формулу P(x)=(x-a)Q(x) R(x), получаем P(a)=(a-a)Q(x) R=R, теорема доказана
Задача 1
Найти остаток от деления x^3 + 5x^2 − 6x − 6 = 0 на двучлен (x-2)
а) уголком
б) по теореме Безу
Следствия из теоремы Безу
I. Если многочлен делится без остатка на (x-a), то a-корень этого многочлена
II. Если a-корень многочлена, то он обязательно делится без остатка на (x-a)
Задача 2
Используя Следствие II из теоремы Безу решить следующие задачи (разложить на множители) ИЗ ПЕРВОГО ЛИСТКА
1) (x^2
2xy
y^2)
2) (x^2 − 2xy
y^2)
3) (x^2 − y^2)
4) (x^3 − y^3)
5) (x^3 + y^3)
6) (x^5 − y^5) 7) (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3)
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
11
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
User properties
29
0
0
1
1
1
1
1
1
1
2
3
1
2
3
1
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
Foto
0
0
Name
19
elem_algebra_006_009 (Однородные уравнения)
elem_algebra_006_009 (Odnorodnye uravneniya)
Object description
Однородные уравнения
Однородные уравнения - это уравнения, все члены которых имеют одинаковую степень,а справа 0.
Уравнение вида Au^2 + Buv + Cv^2 = 0 называется однородным уравнением II-ой степени относительно U и V.
Проверяем возможность д....
Однородные уравнения
Однородные уравнения - это уравнения, все члены которых имеют одинаковую степень,а справа 0.
Уравнение вида Au^2 + Buv + Cv^2 = 0 называется однородным уравнением II-ой степени относительно U и V.
Проверяем возможность деления на U и V.
Делим на U^2(V^2)
AU^2 + BUV + CV^2 = 0 делим на U^2(U! = 0), получаем
A + BV/U + CV^2/U^2 = 0
Пусть V/U = y, тогда V^2/U^2 = y^2, получаем ур-ие:
A + By + Cy^2 = 0
Обратная замена
Задачи на однородные уравнения
1) (x^2 − x + 1)^4 − 10x^2(x^2 − x + 1)^2 + 9x^4 = 0
2) 2(x − 1)^4 − 5(x^2 − 3x + 2)^2 + 2(x − 2)^4 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
5
0
0
1
2
1
1
1
User properties
14
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
Foto
0
0
Name
20
elem_algebra_006_008 (Возвратные уравнения 4-ой степени)
elem_algebra_006_008 (Vozvratnye uravneniya 4-oj stepeni)
Object description
Возвратные уравнения 4-ой степени
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0
если e/a = ( d/b)^2, то делим уравнение на x^2 и делаем замену
1) x^4 − 7x^3 + 14x^2 − 7x + 1 = 0
2) 18x^4 − 3x^3 − 25x^2 + 2x + 8 = 0
Возвратные уравнения 4-ой степени
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0
если e/a = ( d/b)^2, то делим уравнение на x^2 и делаем замену
1) x^4 − 7x^3 + 14x^2 − 7x + 1 = 0
2) 18x^4 − 3x^3 − 25x^2 + 2x + 8 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
21
elem_algebra_006_007 (Разбиение отдельных членов на слагаемые - как буквенных, так и числовых)
elem_algebra_006_007 (Razbienie otdelnyh chlenov na slagaemye - kak bukvennyh, tak i chislovyh)
Object description
Разбиение отдельных членов на слагаемые (как буквенных,так и числовых)
1) x^3 + 1991x + 1992 = 0
2) x^3 − 3x^2 + 2 = 0
3) x^4 − x^3 − 13x^2 + x + 12 = 0
4) x^3 + 4x^2 − 5 = 0
5) x^4 − x^3 − 7x^2 + x + 6 =....
Разбиение отдельных членов на слагаемые (как буквенных,так и числовых)
1) x^3 + 1991x + 1992 = 0
2) x^3 − 3x^2 + 2 = 0
3) x^4 − x^3 − 13x^2 + x + 12 = 0
4) x^3 + 4x^2 − 5 = 0
5) x^4 − x^3 − 7x^2 + x + 6 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
22
elem_algebra_006_006 (Биквадратные уравнения)
elem_algebra_006_006 (Bikvadratnye uravneniya)
Object description
Биквадратные уравнения
1) 25x^4 + 66x^2 − 27 = 0
2) x^6 + 9x^3 + 8 = 0
Биквадратные уравнения
1) 25x^4 + 66x^2 − 27 = 0
2) x^6 + 9x^3 + 8 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
23
elem_algebra_006_005 (Перемножалка)
elem_algebra_006_005 (Peremnozhalka)
Object description
Перемножалка
1) (x^2 − 3x)(x − 1)(x − 2) = 24
2) (x^2 − 5x)(x + 3)(x − 8) + 108 = 0
3) (x + 4)^2(x + 10)(x − 2) + 243 = 0
4) x(x + 3)(x + 5)(x + 8) + 56 = 0
5) (x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6) = 1680 ....
Перемножалка
1) (x^2 − 3x)(x − 1)(x − 2) = 24
2) (x^2 − 5x)(x + 3)(x − 8) + 108 = 0
3) (x + 4)^2(x + 10)(x − 2) + 243 = 0
4) x(x + 3)(x + 5)(x + 8) + 56 = 0
5) (x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6) = 1680
6) (x − 2)(x − 3)^2(x − 4) = 20
7) (x − 4)(x − 3)(x − 2)(x − 1) = 24
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
24
elem_algebra_006_004 (Разложение на множители квадратных трёхчленов)
elem_algebra_006_004 (Razlozhenie na mnozhiteli kvadratnyh trehchlenov)
Object description
Разложение на множители квадратных трёхчленов
1) (x^2 + 4x)(x^2 + x - 6)=(x^3 - 9x)(x^2 + 2x - 8)
2) (x^2 + 5x)(x^2 - 3x - 28)=(x^3 - 16x)(x^2 - 2x - 35)
Разложение на множители квадратных трёхчленов
1) (x^2 + 4x)(x^2 + x - 6)=(x^3 - 9x)(x^2 + 2x - 8)
2) (x^2 + 5x)(x^2 - 3x - 28)=(x^3 - 16x)(x^2 - 2x - 35)
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
5
0
0
1
2
1
1
1
User properties
14
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
Foto
0
0
Name
25
elem_algebra_006_003 (Сворачивание кубов)
elem_algebra_006_003 (Svorachivanie kubov)
Object description
Сворачивание кубов
1) 28x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0
2) 126x^3 − 3x^2 + 3x − 1 = 0
Сворачивание кубов
1) 28x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0
2) 126x^3 − 3x^2 + 3x − 1 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
26
elem_algebra_006_002 (Раскрытие квадратов)
elem_algebra_006_002 (Raskrytie kvadratov)
Object description
Раскрытие квадратов
(x + 1)^2(x + 2) + (x − 1)^2(x − 2) = 12
Раскрытие квадратов
(x + 1)^2(x + 2) + (x − 1)^2(x − 2) = 12
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
27
elem_algebra_006_001 (Группировка)
elem_algebra_006_001 (Gruppirovka)
Object description
Группировка
1) x^3 + x^2 − 4x − 4 = 0
2) 3x^3 + 5x^2 + 5x 3 = 0
3) x^4 + 2x^3 − x − 2 = 0
4) x^3 − x^2 − 81x + 81 = 0
5) x^3 + 3x^2 − 16x − 48 = 0
6) 2x^4 3x^3 + 16x + 24 = 0
7) 24x^4 ....
Группировка
1) x^3 + x^2 − 4x − 4 = 0
2) 3x^3 + 5x^2 + 5x 3 = 0
3) x^4 + 2x^3 − x − 2 = 0
4) x^3 − x^2 − 81x + 81 = 0
5) x^3 + 3x^2 − 16x − 48 = 0
6) 2x^4 3x^3 + 16x + 24 = 0
7) 24x^4 + 16x^3 − 3x − 2 = 0
8) x^3 + 5x^2 + 15x + 27 = 0
9) 8x^3 − 6x^2 + 3x − 1 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
28
elem_algebra_003_015 (Алгоритм извлечения квадратного корня)
elem_algebra_003_015 (Algoritm izvlecheniya kvadratnogo kornya)
Object description
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
10
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
29
elem_algebra_001_014 (ЗАМЕЧАНИЕ: Нельзя разложить на множители выражения следующего вида)
elem_algebra_001_014 (ZAMEChANIE: Nelzya razlozhit na mnozhiteli vyrazheniya sleduyushego vida)
Object description
ЗАМЕЧАНИЕ: Нельзя разложить на множители выражения следующего вида
1) a + b
2) a − b
3) a^2 + b^2 (сумму квадратов и вообще сумму чётных степеней)
4) a^2 + ab b^2 (неполный квадрат суммы)
5) a^2 − ab + b^2 (неполный....
ЗАМЕЧАНИЕ: Нельзя разложить на множители выражения следующего вида
1) a + b
2) a − b
3) a^2 + b^2 (сумму квадратов и вообще сумму чётных степеней)
4) a^2 + ab b^2 (неполный квадрат суммы)
5) a^2 − ab + b^2 (неполный квадрат разности)
6) a^2 + b^3
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
2
0
0
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
30
elem_algebra_003_016 (Извлечение квадратного корня в столбик)
elem_algebra_003_016 (Izvlechenie kvadratnogo kornya v stolbik)
Object description
1) Подсчитайте корень из 1156
2) Подсчитайте корень из двух до 4-ого знака после запятой.
3) Решите квадратное уравнение 56 ∗ x^2 + 138 ∗ x + 27 = 0.
4) (*) Обосновать алгоритм извлечения квадратного корня в столбик.
1) Подсчитайте корень из 1156
2) Подсчитайте корень из двух до 4-ого знака после запятой.
3) Решите квадратное уравнение 56 ∗ x^2 + 138 ∗ x + 27 = 0.
4) (*) Обосновать алгоритм извлечения квадратного корня в столбик.
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
8
0
0
1
2
1
2
1
2
1
2
User properties
18
0
0
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
Foto
0
0
Name
31
elem_algebra_003_014 (Плюс 5 пунктов к Вашему устному счёту)
elem_algebra_003_014 (Plyus 5 punktov k Vashemu ustnomu schetu)
Object description
Найдите квадраты следующих чисел 15,25,35,45,55,65,75,85,95
Посмотрите на результаты, поймите закономерность, позволяющую вычислять эти квадраты быстрее, чем в столбик
Найдите квадраты следующих чисел 15,25,35,45,55,65,75,85,95
Посмотрите на результаты, поймите закономерность, позволяющую вычислять эти квадраты быстрее, чем в столбик
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
32
elem_algebra_003_013 (Биквадратные уравнения)
elem_algebra_003_013 (Bikvadratnye uravneniya)
Object description
1) 25 ∗ x^4 − 109 ∗ x^2 + 36 = 0
2) x^4 + 5 ∗ x^2 + 6 = 0
1) 25 ∗ x^4 − 109 ∗ x^2 + 36 = 0
2) x^4 + 5 ∗ x^2 + 6 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
33
elem_algebra_003_012 (Экстремальные свойства квадратного уравнения)
elem_algebra_003_012 (Ekstremalnye svojstva kvadratnogo uravneniya)
Object description
а) Задача про забор: Вы отгораживаете себе на берегу реки участок прямоугольной формы забором. При этом забор идёт только с 3-х сторон участка (со стороны реки забора нет). У Вас есть забор длины 100 метров. Как отгородить участок наибольшей площади?
б) Доказать,....
а) Задача про забор: Вы отгораживаете себе на берегу реки участок прямоугольной формы забором. При этом забор идёт только с 3-х сторон участка (со стороны реки забора нет). У Вас есть забор длины 100 метров. Как отгородить участок наибольшей площади?
б) Доказать, что при x = − b/2∗a достигается экстремум квадратного трёхчлена
в) Число 14 требуется разбить на три части так, чтобы вторая часть была вдвое больше первой и чтобы сумма квадратов всех трёх частей имела наименьшее значение.
г) Разделить данное число 18 на два слагаемых так, чтобы их произведение оказалось наибольшим.
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
5
0
0
1
2
1
1
1
User properties
16
0
0
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
Foto
0
0
Name
34
elem_algebra_003_011 (Задачи на решение квадратных уравнений через теорему о сумме коэффициентов)
elem_algebra_003_011 (Zadachi na reshenie kvadratnyh uravnenij cherez teoremu o summe koefficientov)
Object description
1) 3 ∗ x^2 − 2 ∗ x − 1 = 0
2) 5 ∗ x^2 + 2 ∗ x + 7 = 0
3) x^2 − 10 ∗ x + 9 = 0
1) 3 ∗ x^2 − 2 ∗ x − 1 = 0
2) 5 ∗ x^2 + 2 ∗ x + 7 = 0
3) x^2 − 10 ∗ x + 9 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
16
0
0
1
1
1
1
1
2
3
4
1
2
3
4
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
35
elem_algebra_003_010 ((!!!) Доказать теорему о сумме коэффициентов)
elem_algebra_003_010 ((!!!) Dokazat teoremu o summe koefficientov)
Object description
Если сумма коэффициентов квадратного уравнения a ∗ x^2 + b ∗ x + c = 0 равна нулю, т.е. a + b + c = 0, то один из корней равен 1, а другой c/a
Если сумма коэффициентов квадратного уравнения a ∗ x^2 + b ∗ x + c = 0 равна нулю, т.е. a + b + c = 0, то один из корней равен 1, а другой c/a
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
36
elem_algebra_003_009 (Задачи на решение квадратных уравнений через Теорему Виетта)
elem_algebra_003_009 (Zadachi na reshenie kvadratnyh uravnenij cherez Teoremu Vietta)
Object description
Теорема Виетта позволяет угадывать корни квадратного уравнения, не решая само уравнение
1) x^2 − 2 ∗ x − 15 = 0
2) x^2 − 5 ∗ x + 6 = 0
3) x^2 + 6 ∗ x − 91 = 0
4) x^2 − x − 56 = 0
5) 2 ∗ x 2 + 2 ∗ x − 3 = 0
Не решая уравне....
Теорема Виетта позволяет угадывать корни квадратного уравнения, не решая само уравнение
1) x^2 − 2 ∗ x − 15 = 0
2) x^2 − 5 ∗ x + 6 = 0
3) x^2 + 6 ∗ x − 91 = 0
4) x^2 − x − 56 = 0
5) 2 ∗ x 2 + 2 ∗ x − 3 = 0
Не решая уравнения, найдите:
а) x_1 + x_2
б) x_1 ∗ x_2
в) 1/x_1 + 1/x_2
г) x_1^2 + x_2^2
д) x_1^2 ∗ x_2 + x_1 ∗ x_2^2
е) x_1^3 + x_2^3
ж) x_1^4 + x_2^4
где x_1 и x_2 - корни уравнения
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
5
0
0
1
2
1
1
1
User properties
16
0
0
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
Foto
0
0
Name
37
elem_algebra_003_008 ((!!!) Теорема Виетта)
elem_algebra_003_008 ((!!!) Teorema Vietta)
Object description
Пользуясь результатом предыдущей задачи, покажите, что если нам известны корни x_1 , x_2 квадратного уравнения a ∗ x^2 + b ∗ x + c = 0, то
c/a = x_1 ∗ x_2 b/a = −(x_1 + x_2 )
Пользуясь результатом предыдущей задачи, покажите, что если нам известны корни x_1 , x_2 квадратного уравнения a ∗ x^2 + b ∗ x + c = 0, то
c/a = x_1 ∗ x_2 b/a = −(x_1 + x_2 )
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
38
elem_algebra_003_007 ((!!!) Разложение квадратного уравнения на множители)
elem_algebra_003_007 ((!!!) Razlozhenie kvadratnogo uravneniya na mnozhiteli)
Object description
Докажите, что если квадратное уравнение a ∗ x^2 + b ∗ x + c = 0 имеет корни x_1 , x_2 , то верно разложение
a ∗ x^2 + b ∗ x + c = a(x − x_1 )(x − x_2 )
Докажите, что если квадратное уравнение a ∗ x^2 + b ∗ x + c = 0 имеет корни x_1 , x_2 , то верно разложение
a ∗ x^2 + b ∗ x + c = a(x − x_1 )(x − x_2 )
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
39
elem_algebra_003_006 (Задачи на решение квадратных уравнений через половинный дискриминант)
elem_algebra_003_006 (Zadachi na reshenie kvadratnyh uravnenij cherez polovinnyj diskriminant)
Object description
1) 3 ∗ x^2 − 20 ∗ x + 12 = 0
2) 5 ∗ x^2 + 22 ∗ x − 15 = 0
1) 3 ∗ x^2 − 20 ∗ x + 12 = 0
2) 5 ∗ x^2 + 22 ∗ x − 15 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
13
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
40
elem_algebra_003_005 ((!!!) Формулы чётного коэффициента b)
elem_algebra_003_005 ((!!!) Formuly chetnogo koefficienta b)
Object description
Вывести формулу решения квадратного уравнения в случае, если коэффициент b - чётный, т.е. b=2k
a ∗ x^2 + 2k ∗ x + c = 0
Вывести формулу решения квадратного уравнения в случае, если коэффициент b - чётный, т.е. b=2k
a ∗ x^2 + 2k ∗ x + c = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
13
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
41
elem_algebra_003_004 (Задачи на решение квадратных уравнений через дискриминант)
elem_algebra_003_004 (Zadachi na reshenie kvadratnyh uravnenij cherez diskriminant)
Object description
1) 2 ∗ x^2 − 3 ∗ x − 5 = 0
2) −x^2 + 0.1 = 0.9 ∗ x
3) 2 ∗ x^2 − 10 ∗ x + 90 = 0
4) Решить уравнение золотого сечения x^2 − 3 ∗ x + 1 = 0
1) 2 ∗ x^2 − 3 ∗ x − 5 = 0
2) −x^2 + 0.1 = 0.9 ∗ x
3) 2 ∗ x^2 − 10 ∗ x + 90 = 0
4) Решить уравнение золотого сечения x^2 − 3 ∗ x + 1 = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
14
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
42
elem_algebra_003_003 ((!!!) Дискриминант)
elem_algebra_003_003 ((!!!) Diskriminant)
Object description
1) Понять, что такое дискриминант и откуда он такой берётся
D = b^2 − 4ac
2) Понять как и почему от значения дискриминанта зависит количество и состав корней уравнения
1) Понять, что такое дискриминант и откуда он такой берётся
D = b^2 − 4ac
2) Понять как и почему от значения дискриминанта зависит количество и состав корней уравнения
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
11
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
43
elem_algebra_003_002 (Решить уравнение без использования формулы дискриминанта и прочих умных теорем)
elem_algebra_003_002
Object description
Для решения нижеизложенных уравнений да помогут вам 2-е великие формулы
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
x^2 − y^2 = (x + y)(x − y)
1) x^2 + 2 ∗ x + 1 = 0
2) x^2 − 6 ∗ x + 9 = 0
3) x^2 10 ∗ x + 25 = 0
....
Для решения нижеизложенных уравнений да помогут вам 2-е великие формулы
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
x^2 − y^2 = (x + y)(x − y)
1) x^2 + 2 ∗ x + 1 = 0
2) x^2 − 6 ∗ x + 9 = 0
3) x^2 10 ∗ x + 25 = 0
4) x^2 − 10 ∗ x + 16 = 0
5) x^2 − 10 ∗ x + 34 = 0
6) x^2 − 10 ∗ x 10 = 0
7) 4x^2 − 12 ∗ x + 9 = 0
8) 25x^2 − 10 ∗ x + 10 = 0
9) 16x^2 − 24 ∗ x + 10 = 0
10) 2x^2 − 8 ∗ x + 8 = 0
11) 2x^2 − 12 ∗ x + 18 = 0
12) 27x^2 − 18 ∗ x + 12 = 0
13) 4x^2 − 24 ∗ x + 36 = 0
14) 4x^2 − 24 ∗ x + 20 = 0
15) 3x^2 − 12 ∗ x − 4 = 0
16) 3x^2 − 15 ∗ x − 4 = 0
17) 3x^2 − 15 ∗ x − 27 = 0
18) (!!!)(*) a ∗ x^2 + b ∗ x + c = 0
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
8
0
0
1
2
3
4
1
1
2
1
User properties
39
0
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
1
2
1
2
3
4
1
2
3
4
Foto
0
0
Name
44
elem_algebra_003_001 (Задачи, приводящие к квадратным уравнениям)
elem_algebra_003_001
Object description
1) Геометрия прямоугольного треугольника
Дан прямоугольный треугольный со сторонами, x+1, x+2, x+3
Найти длины сторон данного треугольника.
2) (*) Золотое сечение - деление целого на две части так, что меньшая относи....
1) Геометрия прямоугольного треугольника
Дан прямоугольный треугольный со сторонами, x+1, x+2, x+3
Найти длины сторон данного треугольника.
2) (*) Золотое сечение - деление целого на две части так, что меньшая относится к большей, как большая к целому. Разделить отрезок длины 1 на 2-е части в пропорциях золотого сечения.
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
15
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
45
elem_algebra_002_015 ((*)Доказать, что значение выражения кратно 10)
elem_algebra_002_015 ((*)Dokazat, chto znachenie vyrazheniya kratno 10)
Object description
Доказать, что значение выражения
96^7 − 22^5 − 48^6 кратно 10
Доказать, что значение выражения
96^7 − 22^5 − 48^6 кратно 10
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
11
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
46
elem_algebra_002_014 ((*)Сколько рациональных слагаемых содержится в разложении)
elem_algebra_002_014 ((*)Skolko racionalnyh slagaemyh soderzhitsya v razlozhenii)
Object description
(*)Сколько рациональных слагаемых содержится в разложении
а) ( √2 + 3^[1/4])^100 = ...
б) ( √2 + 3^[1/3])^300 = ...
(*)Сколько рациональных слагаемых содержится в разложении
а) ( √2 + 3^[1/4])^100 = ...
б) ( √2 + 3^[1/3])^300 = ...
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
11
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
47
elem_algebra_002_013 (Рождение иррациональных чисел)
elem_algebra_002_013 (Rozhdenie irracionalnyh chisel)
Object description
Рождение иррациональных чисел
Рассмотрите квадрат со стороной один. Найдите длину его диагонали.
Докажите, что длина диагонали квадрата - число иррациональное (не представимо в виде p/q , где p - целое, q - натуральное)
Рождение иррациональных чисел
Рассмотрите квадрат со стороной один. Найдите длину его диагонали.
Докажите, что длина диагонали квадрата - число иррациональное (не представимо в виде p/q , где p - целое, q - натуральное)
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
14
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
48
elem_algebra_002_012 ((*)(*)(*) Великая теорема Ферма)
elem_algebra_002_012 ((*)(*)(*) Velikaya teorema Ferma)
Object description
(*)(*)(*) Великая теорема Ферма
a) x^3 + y^3 = z^3 , не имеет решений в целых числах
б) x^4 + y^4 = z^4 , не имеет решений в целых числах
в) x^n + y^n = z^n , где n>2 не имеет решений в целых числах
(*)(*)(*) Великая теорема Ферма
a) x^3 + y^3 = z^3 , не имеет решений в целых числах
б) x^4 + y^4 = z^4 , не имеет решений в целых числах
в) x^n + y^n = z^n , где n>2 не имеет решений в целых числах
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
6
0
0
1
2
1
1
1
1
User properties
16
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
49
elem_algebra_002_011 (Целые числа, удовлетворяющие равенству x^2 y^2 = z^2 называются пифагоровы тройки)
elem_algebra_002_011 (Celye chisla, udovletvoryayushie ravenstvu x2 y2 = z2 nazyvayutsya pifagorovy trojki)
Object description
Целые числа, удовлетворяющие равенству x^2 + y^2 = z^2 называются пифагоровы тройки
Пифагоровы тройки можно получить из следующего равенства, подставляя различные m и n
(m^2 − n^2 )^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2 )^2
Целые числа, удовлетворяющие равенству x^2 + y^2 = z^2 называются пифагоровы тройки
Пифагоровы тройки можно получить из следующего равенства, подставляя различные m и n
(m^2 − n^2 )^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2 )^2
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
14
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
50
elem_algebra_002_010 ((*)Докажите обратную теорему Пифагора: если квадрат гипотенузы равне сумме квадратов катетов, то треугольник прямоугольный)
elem_algebra_002_010 ((*)Dokazhite obratnuyu teoremu Pifagora: esli kvadrat gipotenuzy ravne summe kvadratov katetov, to treugolnik pryamougolnyj)
Object description
(*)Докажите обратную теорему Пифагора: если квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то треугольник прямоугольный
Замечание: Эта теорема нужна, чтобы строить прямой угол в природе.
Например, достаточно взять 3 палки с длинами 3,4,5, тогда 3^2 + 4....
(*)Докажите обратную теорему Пифагора: если квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то треугольник прямоугольный
Замечание: Эта теорема нужна, чтобы строить прямой угол в природе.
Например, достаточно взять 3 палки с длинами 3,4,5, тогда 3^2 + 4^2 = 5^2 . И получится прямой угол.
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
15
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
51
elem_algebra_002_009 (Прямая теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов)
elem_algebra_002_009 (Pryamaya teorema Pifagora: v pryamougolnom treugolnike kvadrat gipotenuzy raven summe kvadratov katetov)
Object description
Докажите прямую теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (самой длиной его стороны) равен сумме квадратов катетов
Укзание: смотри! рис 1.
Докажите прямую теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (самой длиной его стороны) равен сумме квадратов катетов
Укзание: смотри! рис 1.
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
19
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
52
elem_algebra_002_008 ((*) Докажите, что сумма коэффициентов на чётных местах равна сумме коэффициентов на нечётных местах)
elem_algebra_002_008 ((*) Dokazhite, chto summa koefficientov na chetnyh mestah ravna summe koefficientov na nechetnyh mestah)
Object description
(*) Докажите, что сумма коэффициентов на чётных местах равна сумме коэффициентов на нечётных местах
(*) Докажите, что сумма коэффициентов на чётных местах равна сумме коэффициентов на нечётных местах
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
15
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
53
elem_algebra_002_007 ( (*) Подсчитать сумму биномиальных коэффициентов)
elem_algebra_002_007 ( (*) Podschitat summu binomialnyh koefficientov)
Object description
(*) Подсчитать сумму биномиальных коэффициентов в разложении Бинома Ньютона (когда имеется в виду сумма в n-ой степени)
(*) Подсчитать сумму биномиальных коэффициентов в разложении Бинома Ньютона (когда имеется в виду сумма в n-ой степени)
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
15
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
54
elem_algebra_002_006 (*) Докажите, почему биномиальные закономерности РАБОТАЮТ
elem_algebra_002_006 (*) Dokazhite, pochemu binomialnye zakonomernosti RABOTAYuT
Object description
Докажите, ПОЧЕМУ закономерности из пункта 4) РАБОТАЮТ
Докажите, ПОЧЕМУ закономерности из пункта 4) РАБОТАЮТ
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
15
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
55
elem_algebra_002_005 Бином Ньютона
elem_algebra_002_005 Binom Nyutona
Object description
Используя обнаруженные закономерности выпишите разложения
1) (a + b)^6 = ...
2) (a − b)^7 = ...
Замечание: разложения вида (a + b)^n = ... называется БИНОМ НЬЮТОНА
Используя обнаруженные закономерности выпишите разложения
1) (a + b)^6 = ...
2) (a − b)^7 = ...
Замечание: разложения вида (a + b)^n = ... называется БИНОМ НЬЮТОНА
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
15
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
56
elem_algebra_002_004 Выпишите друг под другом разложения 1-ой, 2-ой, 3-ей, 4-ой и 5-ой степеней суммы двух слагаемых
elem_algebra_002_004 Vypishite drug pod drugom razlozheniya 1-oj, 2-oj, 3-ej, 4-oj i 5-oj stepenej summy dvuh slagaemyh
Object description
Выпишите друг под другом разложения 1-ой, 2-ой, 3-ей, 4-ой и 5-ой степеней суммы двух слагаемых
1)Поймите закономерность поведения коэффициентов указанных разложений (Для этого ещё раз выпишите отдельно только коэффициенты указанных разложений).
2)П....
Выпишите друг под другом разложения 1-ой, 2-ой, 3-ей, 4-ой и 5-ой степеней суммы двух слагаемых
1)Поймите закономерность поведения коэффициентов указанных разложений (Для этого ещё раз выпишите отдельно только коэффициенты указанных разложений).
2)Поймите, как ведут себя степени указанных разложений.
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
15
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
57
elem_algebra_002_003 Четырехмерный куб
elem_algebra_002_003 Chetyrehmernyj kub
Object description
Найдите, чему равно
(a + b)^4 =
Наблюдение:
Заметьте себе, что геометрический смысл равенства для четвёртой степени - это объём четырёхмерного куба. Там наше воображение отказывается нам помогать, а алгебраически по-прежнему можно посчитать!
Найдите, чему равно
(a + b)^4 =
Наблюдение:
Заметьте себе, что геометрический смысл равенства для четвёртой степени - это объём четырёхмерного куба. Там наше воображение отказывается нам помогать, а алгебраически по-прежнему можно посчитать!
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
16
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
58
elem_algebra_002_002 Куб суммы геометрически
elem_algebra_002_002 Kub summy geometricheski
Object description
Докажите равенство геометрически
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Докажите равенство геометрически
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
16
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
59
elem_algebra_002_001 Квадрат суммы геометрически
elem_algebra_002_001 Kvadrat summy geometricheski
Object description
Докажите равенство геометрически
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Подсказка:
Рассмотрите квадрат со стороной a + b и посчитайте его площадь двумя способами: целиком и по частям
Докажите равенство геометрически
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Подсказка:
Рассмотрите квадрат со стороной a + b и посчитайте его площадь двумя способами: целиком и по частям
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
16
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
60
elem_algebra_001_013 Волшебный автомат
elem_algebra_001_013 Volshebnyj avtomat
Object description
Волшебный автомат
В четырёх ячейках памяти игрального автомата записаны числа a, b, c,d. Автомат может сложить или вычесть два числа (бесплатно) или перемножить их (за 1 рубль); результат он записывает в новую ячейку. Может ли игрок, потратив всего три р....
Волшебный автомат
В четырёх ячейках памяти игрального автомата записаны числа a, b, c,d. Автомат может сложить или вычесть два числа (бесплатно) или перемножить их (за 1 рубль); результат он записывает в новую ячейку. Может ли игрок, потратив всего три рубля, добиться того, что каких-то трёх ячейках будут записаны числа 2(ab + cd), 2(ac + bd) и 2(ad + bc)? (Исходные числа игроку неизвестны).
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
5
0
0
1
2
1
1
1
User properties
18
0
0
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
Foto
0
0
Name
61
elem_algebra_001_012 Некоторые более сложные примеры
elem_algebra_001_012 Nekotorye bolee slozhnye primery
Object description
Некоторые более сложные примеры
Разложить на множители
1)(*) x^4 + 4 = ...
2)(*) 2bc + a^2 − b^2 − c^2 = ...
3)(*) x^4 − 21x^2 + 4 = ...
4)(**) x^3 + y^3 + z^3 − 3xyz = ...
5)(*) (x + y + z)^3 − ....
Некоторые более сложные примеры
Разложить на множители
1)(*) x^4 + 4 = ...
2)(*) 2bc + a^2 − b^2 − c^2 = ...
3)(*) x^4 − 21x^2 + 4 = ...
4)(**) x^3 + y^3 + z^3 − 3xyz = ...
5)(*) (x + y + z)^3 − x^3 − y^3 − z^3 = ...
6)(*) x^4 + x^2y^2 + y^4 = ...
7)(*) a^4 − 2a^3 + a^2 − 1 = ...
8)(*) c^8 − c^4 − 2c^2 − 1 = ...
9)(*) 8x^3 + y^3 + 6y^2 + 12y + 8 = ...
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
25
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1
2
1
2
1
2
User properties
100
0
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
1
2
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1
2
3
4
1
2
3
4
Foto
0
0
Name
62
elem_algebra_001_011 Куб суммы и разности
elem_algebra_001_011 Kub summy i raznosti
Object description
Куб суммы и разности
1)(!!!) x^3 + 3x^2y + 3y^2x + y^3 = ...
2)(!!!) x^3 − 3x^2y + 3xy^2 − y^3 = ...
Куб суммы и разности
1)(!!!) x^3 + 3x^2y + 3y^2x + y^3 = ...
2)(!!!) x^3 − 3x^2y + 3xy^2 − y^3 = ...
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
21
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
63
elem_algebra_001_010 (Метод группировки с добавлением фиктивных слагаемых для СУММ КВАДРАТОВ)
elem_algebra_001_010 (Metod gruppirovki s dobavleniem fiktivnyh slagaemyh dlya SUMM KVADRATOV)
Object description
Метод группировки с добавлением фиктивных (виртуальных) слагаемых для СУММ КВАДРАТОВ
1)Докажите, что произведение суммы 2-х квадратов на сумму 2-х квадратов есть снова сумма 2-х квадратов, т.е.
(a^2 + b^2 )(x^2 + y^2 ) = (?_1)^2 + (?_2)^2 ....
Метод группировки с добавлением фиктивных (виртуальных) слагаемых для СУММ КВАДРАТОВ
1)Докажите, что произведение суммы 2-х квадратов на сумму 2-х квадратов есть снова сумма 2-х квадратов, т.е.
(a^2 + b^2 )(x^2 + y^2 ) = (?_1)^2 + (?_2)^2
например, вот так:
(17^2 + 3^2 )(8^2 + 11^2 ) = 103^2 + 211^2
Подсказка: квадраты конструировать с помощью формул
a^2 + 2 ∗ a ∗ b + b^2 = (a + b)^2
2)(*)Докажите, что произведение суммы 4-х квадратов на сумму 4-х квадратов есть снова сумма 4-х квадратов, т.е.
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 )(x^2 + y^2 + z^2 + p^2 ) = (?_1)^2 + (?_2)^2 + (?_3)^2 + (?_4)^2
Подсказка: квадраты конструировать с помощью формул
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd = (a + b + c + d)^2
3)(**)Докажите, что произведение суммы 8-и квадратов на сумму 8-и квадратов есть снова сумма 8-и квадратов, т.е.
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + u^2 + t^2 + s^2 )(x^2 + y^2 + z^2 + p^2 + k^2 + j^2 + n^2 + m^2 ) = (?_1)^2 + (?_2)^2 + (?_3)^2 + (?_4)^2 + (?_5)^2 + (?_6)^2 + (?_7)^2 + (?_8)^2
Подсказка: квадраты конструировать с помощью формул
(a + b + c + d + e + f + g + h)^2 = ...
Примечание 1:
Для 16-и квадратов неверно.
Примечание 2:
Формулы из задачи 10 можно доказать легче, чем с помощью группировки - с помощью гиперкомплексных чисел. Случай 2-х квадратов - комплексные числа, 4-х - кватернионы, 8-и - октавы.
Примечание 3:
Теорема о невозможности 16-и: теорема Фробениуса
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
8
0
0
1
2
3
1
1
2
3
1
User properties
39
0
1
1
1
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
1
1
1
2
1
2
Foto
0
0
Name
64
elem_algebra_001_009 Метод группировки с добавлением фиктивных слагаемых
elem_algebra_001_009 Metod gruppirovki s dobavleniem fiktivnyh slagaemyh
Object description
Метод группировки с добавлением фиктивных (виртуальных) слагаемых для разложения на множители: надо прибавить и отнять одно и то же искуственно придуманное слагаемое, чтобы с ними возможно было проделать обычный метод группировки
1)(!!!)x^2 − y^2 = ... (Разность кв....
Метод группировки с добавлением фиктивных (виртуальных) слагаемых для разложения на множители: надо прибавить и отнять одно и то же искуственно придуманное слагаемое, чтобы с ними возможно было проделать обычный метод группировки
1)(!!!)x^2 − y^2 = ... (Разность квадратов)
2)(!!!)x^3 − y^3 = ... (Разность кубов)
3)(!!!)x^3 + y^3 = ... (Сумма кубов)
4)(*)x^5 − y^5 = ... (Разность пятых степеней)
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
8
0
0
1
2
3
1
1
2
3
1
User properties
36
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
65
elem_algebra_001_008 (!!!)Квадрат суммы и разности (разложить на множители методом группировки)
elem_algebra_001_008 (!!!)Kvadrat summy i raznosti (razlozhit na mnozhiteli metodom gruppirovki)
Object description
(!!!)Квадрат суммы и разности (разложить на множители методом группировки)
1) x^2 + 2xy + y^2 = ...
2) x^2 − 2xy + y^2 = ...
3) a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = ...
(!!!)Квадрат суммы и разности (разложить на множители методом группировки)
1) x^2 + 2xy + y^2 = ...
2) x^2 − 2xy + y^2 = ...
3) a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = ...
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
6
0
0
1
2
1
1
2
1
User properties
28
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
66
elem_algebra_001_007 Метод группировки для разложения на множители
elem_algebra_001_007 Metod gruppirovki dlya razlozheniya na mnozhiteli
Object description
Метод группировки для разложения на множители
1) ax + 2yb + xb + 2ya=...
2) 14xy-15-21x + 10y=...
3) 2az + z-4a + zb-2-2b=...
Метод группировки для разложения на множители
1) ax + 2yb + xb + 2ya=...
2) 14xy-15-21x + 10y=...
3) 2az + z-4a + zb-2-2b=...
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
26
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
67
elem_algebra_001_006 Разложение на множители
elem_algebra_001_006 Razlozhenie na mnozhiteli
Object description
Разложение на множители
1) 5x^2y + 2yx^2z = ...
2) 8a^2b^3c + 3a^2cb^2 − b^3a^2c = ...
3) a^−5 + a^−3 = ...
Разложение на множители
1) 5x^2y + 2yx^2z = ...
2) 8a^2b^3c + 3a^2cb^2 − b^3a^2c = ...
3) a^−5 + a^−3 = ...
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
26
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
68
elem_algebra_001_005 Раскрытие скобок и приведение подобных
elem_algebra_001_005 Raskrytie skobok i privedenie podobnyh
Object description
Раскрытие скобок и приведение подобных
1) (2a + b)(5b − 8a) = ...
2) (−2a + b − 2ab)(11a − 3ab) = ...
Раскрытие скобок и приведение подобных
1) (2a + b)(5b − 8a) = ...
2) (−2a + b − 2ab)(11a − 3ab) = ...
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
26
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
69
elem_algebra_001_004 Привести подобные слагаемые
elem_algebra_001_004 Privesti podobnye slagaemye
Object description
Привести подобные слагаемые
1)2a + b − a + 10b + 1 = ...
2)7x−2y = ... (если буквенная часть не совпадает, то складывать нельзя)
3)5a^2b + 7 + x^2y − 8ba^2 + 10xy = ...
Привести подобные слагаемые
1)2a + b − a + 10b + 1 = ...
2)7x−2y = ... (если буквенная часть не совпадает, то складывать нельзя)
3)5a^2b + 7 + x^2y − 8ba^2 + 10xy = ...
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
26
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
70
elem_algebra_001_003 Разложение на множители=приведение подобных
elem_algebra_001_003 Razlozhenie na mnozhiteli=privedenie podobnyh
Object description
Разложение на множители=приведение подобных
1) 7x − 3x = ... (этот вид разложения называется «приведение подобных слагаемых» , «подобными» называются одночлены с одинаковой буквенной частью)
2) 55x^127yz^2 − 8z^2yx^127 + yz^2x^127 = ...
Разложение на множители=приведение подобных
1) 7x − 3x = ... (этот вид разложения называется «приведение подобных слагаемых» , «подобными» называются одночлены с одинаковой буквенной частью)
2) 55x^127yz^2 − 8z^2yx^127 + yz^2x^127 = ...
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
26
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
71
elem_algebra_001_002 Раскрыть скобки
elem_algebra_001_002 Raskryt skobki
Object description
Раскрыть скобки
1) 5x(x − 2) = ...
2) (x^2 + 3xy)(2 + 7x + y) = ...
Раскрыть скобки
1) 5x(x − 2) = ...
2) (x^2 + 3xy)(2 + 7x + y) = ...
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
26
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
72
elem_algebra_001_001 (!!!)Распределительный закон
elem_algebra_001_001 (!!!)Raspredelitelnyj zakon
Object description
Докажите, обоснуйте равенство
a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c
Подсказки:
1) подставьте числа вместо букв и поймите, что происходит с числами
Подсказка: Подставьте, например, (5 + 3)*7=5*7 + 3*7 и поймите смысл указанного равенс....
Докажите, обоснуйте равенство
a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c
Подсказки:
1) подставьте числа вместо букв и поймите, что происходит с числами
Подсказка: Подставьте, например, (5 + 3)*7=5*7 + 3*7 и поймите смысл указанного равенства
2) поймите геометрический смысл доказываемого равенства.
Подсказка: Подсчитайте площадь прямоугольника со сторонами B + C и A двумя способами (целиком и по частям)
Примечание:
Указанное равенство лежит в основе ВСЕХ формул школьной алгебры и иначе ещё называется "правило раскрытия скобок". Можно ещё помнить это так: мама "a" кормит каждого сына "b" и "c"
Operation
Groups of object
ELEM
ALGEBRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
26
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
73
myolimp21_04 Пятнашки
myolimp21_04 Pyatnashki
Object description
Расставьте числа так, чтобы они шли по порядку строчка за строчкой, а крайний нижний правый квадрат должен быть пустой.
Расставьте числа так, чтобы они шли по порядку строчка за строчкой, а крайний нижний правый квадрат должен быть пустой.
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
21
System properties
2
0
0
1
1
User properties
10
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
74
myolimp21_02 Задача о 5 соседях
myolimp21_02 Zadacha o 5 sosedyah
Object description
Пять человек пяти разных национальностей живут по соседству в пяти домах разного цвета.
У каждого из пяти людей своё любимое животное, любимый напиток и своя манера курить.
Собака есть у испанца.
В красном доме живёт англичанин.
Чай ....
Пять человек пяти разных национальностей живут по соседству в пяти домах разного цвета.
У каждого из пяти людей своё любимое животное, любимый напиток и своя манера курить.
Собака есть у испанца.
В красном доме живёт англичанин.
Чай любит француз.
Кофе любят в зеленом доме, который находится рядом с белым домом и справа от него.
В желтом доме курят маленькие сигары.
Кто любит большие сигары, у того есть попугай.
В крайнем доме слева живёт швед.
В среднем доме любят молоко.
Рядом с владельцем кошки живёт тот, кто курит маленькие сигареты.
По соседству с домом, где держат обезьяну, живёт тот, кто любит сигареты.
Кто любит апельсиновый сок, тот курит трубку.
Рядом с голубым домом живёт швед.
Не курит совсем итальянец.
Как вы думаете, кому же принадлежит зебра?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
21
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
13
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
75
myolimp04_10 Спуск с горы
myolimp04_10 Spusk s gory
Object description
За Вами гонится лев. Вы находитесь на краю пропасти глубиной 1000 метров, прямо над пропастью и на высоте 500 метров от дна пропасти посреди скалы растет по прочному дереву. У Вас есть с собой веревка 900 метров и нож.
а) Вам нужно придумать, как спуститься на дно п....
За Вами гонится лев. Вы находитесь на краю пропасти глубиной 1000 метров, прямо над пропастью и на высоте 500 метров от дна пропасти посреди скалы растет по прочному дереву. У Вас есть с собой веревка 900 метров и нож.
а) Вам нужно придумать, как спуститься на дно пропасти - это точно возможно.
б) Какой минимальной длины веревки достаточно, чтобы спуститься?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
04
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
21
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
76
myolimp10_10 Прямоугольник 100х289
myolimp10_10 Pryamougolnik 100h289
Object description
Разрежьте прямоугольник 100х289 на три части, из которых можно сложить квадрат.
Разрежьте прямоугольник 100х289 на три части, из которых можно сложить квадрат.
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
10
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
7
0
0
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
77
myolimp10_09 Прямоугольный брусок
myolimp10_09 Pryamougolnyj brusok
Object description
Можно ли разрезать прямоугольный брусок на 8 прямоугольных брусков с целочисленными ребрами различного объема?
Можно ли разрезать прямоугольный брусок на 8 прямоугольных брусков с целочисленными ребрами различного объема?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
10
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
7
0
0
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
78
myolimp09_08 Многоугольник и треугольник
myolimp09_08 Mnogougolnik i treugolnik
Object description
Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник, являющийся пересечением четырёхугольника и треугольника.
Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник, являющийся пересечением четырёхугольника и треугольника.
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
09
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
79
myolimp09_03 Сын отца профессора
myolimp09_03 Syn otca professora
Object description
Сын отца профессора разговаривает с отцом сына профессора, а профессор в разговоре не участвует. Может ли так быть?
Сын отца профессора разговаривает с отцом сына профессора, а профессор в разговоре не участвует. Может ли так быть?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
09
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
8
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
80
myolimp08_09 Число 2009
myolimp08_09 Chislo 2009
Object description
Запишите число 2009 при помощи трёх цифр, каждую из которых нужно использовать ровно два раза, скобок и знаков арифметических операций. Из цифр можно составлять числа.
Запишите число 2009 при помощи трёх цифр, каждую из которых нужно использовать ровно два раза, скобок и знаков арифметических операций. Из цифр можно составлять числа.
Operation
Groups of object
OLIMP
08
OLYMPUS
System properties
12
0
0
1
1
1
2
3
1
1
1
1
2
3
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
81
myolimp06_08 Перекладывание спичек
myolimp06_08 Perekladyvanie spichek
Object description
Operation
Groups of object
OLIMP
06
OLYMPUS
System properties
16
0
0
1
1
1
2
3
1
2
1
1
1
1
2
3
1
2
1
User properties
21
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
82
myolimp05_05 Бесконечные суммы
myolimp05_05 Beskonechnye summy
Object description
Operation
Groups of object
OLIMP
05
OLYMPUS
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
83
myolimp04_09 Золотошвея
myolimp04_09 Zolotoshveya
Object description
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
04
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
24
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
84
myolimp04_08 Разрезание
myolimp04_08 Razrezanie
Object description
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
04
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
10
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
85
myolimp04_07 Побег из тюрьмы
myolimp04_07 Pobeg iz tyurmy
Object description
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
04
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
23
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
86
myolimp04_06 Куда ехал автобус?
myolimp04_06 Kuda ehal avtobus?
Object description
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
04
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
20
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
87
myolimp03_10 Закономерность из фигурок
myolimp03_10 Zakonomernost iz figurok
Object description
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
03
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
30
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
88
myolimp03_09 Гусеница хочет проползти из одного угла кубической комнаты в противоположный
myolimp03_09 Gusenica hochet propolzti iz odnogo ugla kubicheskoj komnaty v protivopolozhnyj
Object description
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
03
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
18
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
89
myolimp03_08 Вид спереди и сверху
myolimp03_08 Vid speredi i sverhu
Object description
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
03
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
90
myolimp07_09 Задержанный признался, что у него три сына
myolimp07_09 Zaderzhannyj priznalsya, chto u nego tri syna
Object description
Задержанный признался, что у него три сына, произведение их возрастов равно 36, а сумма равна числу окон дома, около которого произошло задержание. Милиционер сказал, что для определения возраста детей этого недостаточно. Когда задержанный добавил, что его старший сын р....
Задержанный признался, что у него три сына, произведение их возрастов равно 36, а сумма равна числу окон дома, около которого произошло задержание. Милиционер сказал, что для определения возраста детей этого недостаточно. Когда задержанный добавил, что его старший сын рыжий, милиционер определил возрасты детей. Сколько им было лет?
Operation
Groups of object
OLIMP
07
OLYMPUS
System properties
14
0
0
1
1
2
3
1
1
1
1
1
2
3
1
1
1
User properties
18
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
91
myolimp07_08 6 кошек съедают 6 мышей за 6 минут
myolimp07_08 6 koshek sedayut 6 myshej za 6 minut
Object description
6 кошек съедают 6 мышей за 6 минут (одна кошка съедает мышь за 6 минут). Сколько кошек съедят 100 мышей за 50 минут?
6 кошек съедают 6 мышей за 6 минут (одна кошка съедает мышь за 6 минут). Сколько кошек съедят 100 мышей за 50 минут?
Operation
Groups of object
OLIMP
07
OLYMPUS
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
92
myolimp07_07 Из числа вычли сумму его цифр
myolimp07_07 Iz chisla vychli summu ego cifr
Object description
Из числа вычли сумму его цифр. Из полученного числа вновь вычли сумму его (полученного числа) цифр, и так делали снова и снова. После одиннадцати таких вычитаний впервые получить нуль. С какого числа начали?
Из числа вычли сумму его цифр. Из полученного числа вновь вычли сумму его (полученного числа) цифр, и так делали снова и снова. После одиннадцати таких вычитаний впервые получить нуль. С какого числа начали?
Operation
Groups of object
OLIMP
07
OLYMPUS
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
8
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
93
myolimp07_05 Расставьте числа 1,1,2,2,3,3,4,4
myolimp07_05 Rasstavte chisla 1,1,2,2,3,3,4,4
Object description
Расставьте числа 1,1,2,2,3,3,4,4 в таком порядке, чтобы между единица-ми оказалась одна цифра, между двойками - две, между тройками - три, а между четвёрками - четыре цифры
Расставьте числа 1,1,2,2,3,3,4,4 в таком порядке, чтобы между единица-ми оказалась одна цифра, между двойками - две, между тройками - три, а между четвёрками - четыре цифры
Operation
Groups of object
OLIMP
07
OLYMPUS
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
28
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
94
myolimp07_04 Прямоугольный торт и прямоугольное отверстие
myolimp07_04 Pryamougolnyj tort i pryamougolnoe otverstie
Object description
Дан прямоугольный торт произвольного размера. В нём сверху вниз проделано сквозное прямоугольное отверстие произвольной величины. Раз-резать торт на 2-е равных по размеру (но не по форме) части одним пря-молинейным разрезом.
Дан прямоугольный торт произвольного размера. В нём сверху вниз проделано сквозное прямоугольное отверстие произвольной величины. Раз-резать торт на 2-е равных по размеру (но не по форме) части одним пря-молинейным разрезом.
Operation
Groups of object
OLIMP
07
OLYMPUS
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
10
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
95
myolimp07_01 Виноград
myolimp07_01 Vinograd
Object description
Есть виноград с 99 процентов влаги массой 100 кг, часть винограда ис-сохла и получился 98 процентный по влажности виноград. Какова стала его масса?
Есть виноград с 99 процентов влаги массой 100 кг, часть винограда ис-сохла и получился 98 процентный по влажности виноград. Какова стала его масса?
Operation
Groups of object
OLIMP
07
OLYMPUS
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
96
myolimp06_07 Продолжить последовательность
myolimp06_07 Prodolzhit posledovatelnost
Object description
Продолжить последовательность
1, 11, 21, 1112, 3112, 211213, 312213, 212223, 114213, 31121314, 41122314, 31221314 ...
Продолжить последовательность
1, 11, 21, 1112, 3112, 211213, 312213, 212223, 114213, 31121314, 41122314, 31221314 ...
Operation
Groups of object
OLIMP
06
OLYMPUS
System properties
20
0
0
1
1
2
3
4
1
2
1
2
1
1
1
2
3
4
1
2
1
2
1
User properties
20
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
97
myolimp06_06 Охрана небольшого объекта
myolimp06_06 Ohrana nebolshogo obekta
Object description
Можно ли расставить охрану вокруг небольшого объекта так, чтобы ни к объекту, ни к часовым нельзя было подкрасться? (каждый часовой стоит неподвижно и видит на 100 метров вперёд)
Можно ли расставить охрану вокруг небольшого объекта так, чтобы ни к объекту, ни к часовым нельзя было подкрасться? (каждый часовой стоит неподвижно и видит на 100 метров вперёд)
Operation
Groups of object
OLIMP
06
OLYMPUS
System properties
10
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
User properties
23
0
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
98
myolimp06_05 Улитка
myolimp06_05 Ulitka
Object description
Улитка за день залезает вверх по столбу на 3 см, а за ночь, уснув, неча-янно спускается на 2 см. Высота столба 10 метров, а наверху лежит вкусная для улитки конфета. Через сколько дней улитка её достанет?
Улитка за день залезает вверх по столбу на 3 см, а за ночь, уснув, неча-янно спускается на 2 см. Высота столба 10 метров, а наверху лежит вкусная для улитки конфета. Через сколько дней улитка её достанет?
Operation
Groups of object
OLIMP
06
OLYMPUS
System properties
6
0
0
1
1
1
1
1
1
User properties
19
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
99
myolimp06_04 Профессор математики вешает картину
myolimp06_04 Professor matematiki veshaet kartinu
Object description
Профессор математики взял верёвку подлиннее, прикрепил её к картине и повесил картину на два гвоздя так, что она висит, но если выдернуть любой гвоздь, то картина упадёт. Сможете ли Вы сделать то же самое? А повесить картину таким же образом на три гвоздя?
Профессор математики взял верёвку подлиннее, прикрепил её к картине и повесил картину на два гвоздя так, что она висит, но если выдернуть любой гвоздь, то картина упадёт. Сможете ли Вы сделать то же самое? А повесить картину таким же образом на три гвоздя?
Operation
Groups of object
OLIMP
06
OLYMPUS
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
100
myolimp06_02 Волк и 4 собаки
myolimp06_02 Volk i 4 sobaki
Object description
В центре поля, имеющего форму квадрата, находится волк, а в вершинах квадрата - четыре собаки. Волк может бегать по всему полю, а собаки - только по его сторонам. Известно, что волк задирает собаку, а две собаки задирают волка. Максимальная сокрость каждой собаки в полт....
В центре поля, имеющего форму квадрата, находится волк, а в вершинах квадрата - четыре собаки. Волк может бегать по всему полю, а собаки - только по его сторонам. Известно, что волк задирает собаку, а две собаки задирают волка. Максимальная сокрость каждой собаки в полтора раза больше максимальной скорости волка. Докажите, что собаки имеют возможность не выпустить волка за пределы поля.
Operation
Groups of object
OLIMP
06
OLYMPUS
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
9
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
101
myolimp06_01 Волейбольный турнир
myolimp06_01 Volejbolnyj turnir
Object description
В волейбольном турнире, проходившем в один круг (каждая команда играет с каждой ровно один раз) 20 процентов всех команд не одержали ни одной победы (в волейболе ничьих не бывает). Сколько команд участвовало в этом турнире?
В волейбольном турнире, проходившем в один круг (каждая команда играет с каждой ровно один раз) 20 процентов всех команд не одержали ни одной победы (в волейболе ничьих не бывает). Сколько команд участвовало в этом турнире?
Operation
Groups of object
OLIMP
06
OLYMPUS
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
16
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
102
myolimp05_10 Король и 3 мудреца
myolimp05_10 Korol i 3 mudreca
Object description
Король решил устроить экзамен трём придворным мудрецам A, B и С. Он сообщил, что у него имеются два белых и три чёрных колпака. После этого король завязал глаза мудрецам и надел каждому чёрный колпак. Раз-вязав глаза, король спросил: «Может ли кто-нибудь из вас определи....
Король решил устроить экзамен трём придворным мудрецам A, B и С. Он сообщил, что у него имеются два белых и три чёрных колпака. После этого король завязал глаза мудрецам и надел каждому чёрный колпак. Раз-вязав глаза, король спросил: «Может ли кто-нибудь из вас определить цвет своего колпака?»
Мудрецы ответили
А: «Нет, так как могу ошибиться»
B: «Нет, так как могу ошибиться»
C: «Да, на мне чёрный колпак!»
Как мудрецу С это удалось?
Operation
Groups of object
OLIMP
05
OLYMPUS
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
103
myolimp05_09 Авиалинии
myolimp05_09 Avialinii
Object description
В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что любой город соединён авиалиниями не более, чем с тремя другими, и из любого города в любой другой можно долететь, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее число городов может быть в этом госу....
В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что любой город соединён авиалиниями не более, чем с тремя другими, и из любого города в любой другой можно долететь, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее число городов может быть в этом государстве?
Operation
Groups of object
OLIMP
05
OLYMPUS
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
13
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
104
myolimp05_08 Справедливая дележка
myolimp05_08 Spravedlivaya delezhka
Object description
Двое делят торт на равные части «по справедливости». Из инструментов у них имеется только нож, но нет никакого способа померить точность деления. Поэтому они договариваются «по справедливости» так: один режет торт на две части, а другой выбирает себе кусок из двух отрез....
Двое делят торт на равные части «по справедливости». Из инструментов у них имеется только нож, но нет никакого способа померить точность деления. Поэтому они договариваются «по справедливости» так: один режет торт на две части, а другой выбирает себе кусок из двух отрезанных. Как «по справедливости» поделить между собой торт троим людям?
Operation
Groups of object
OLIMP
05
OLYMPUS
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
105
myolimp05_07 Проезд в автобусе
myolimp05_07 Proezd v avtobuse
Object description
Проезд в автобусе по билету стоит 23 рубля, а без билета бесплатно. Во сколько раз проезд по билету дороже проезда без билета?
Проезд в автобусе по билету стоит 23 рубля, а без билета бесплатно. Во сколько раз проезд по билету дороже проезда без билета?
Operation
Groups of object
OLIMP
05
OLYMPUS
System properties
10
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
User properties
27
0
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
106
myolimp05_06 Мартышка и кокос
myolimp05_06 Martyshka i kokos
Object description
Мартышка поднимается на один из 100 этажей небоскрёба и бросает вниз кокос. Она пытается выяснить, с какого наименьшего этажа нужно бросить кокос, чтобы тот разбился. Каково минимальное число попыток, достаточное для этого, если у мартышки всего два кокоса?
Мартышка поднимается на один из 100 этажей небоскрёба и бросает вниз кокос. Она пытается выяснить, с какого наименьшего этажа нужно бросить кокос, чтобы тот разбился. Каково минимальное число попыток, достаточное для этого, если у мартышки всего два кокоса?
Operation
Groups of object
OLIMP
05
OLYMPUS
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
14
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
107
myolimp05_04 Животные и цифры
myolimp05_04 Zhivotnye i cifry
Object description
У коровы 2, у ослика 2, у утки 3, у кошки и собаки 3 , у кукушки 4, а у петуха 8 .Что это?
У коровы 2, у ослика 2, у утки 3, у кошки и собаки 3 , у кукушки 4, а у петуха 8 .Что это?
Operation
Groups of object
OLIMP
05
OLYMPUS
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
23
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
108
myolimp05_03 Али-ба-ба и вход в пещеру
myolimp05_03 Ali-ba-ba i vhod v pesheru
Object description
Али-Баба пытается проникнуть в пещеру с сокровищем. У входа в пеще-ру стоит барабан с четырьмя отверстиями по бокам. Около каждого отвер-стия внутри поставлен переключатель, имеющий два положения «вверх» и «вниз».
Разрешается засунуть руки в любые два отверстия, пощ....
Али-Баба пытается проникнуть в пещеру с сокровищем. У входа в пеще-ру стоит барабан с четырьмя отверстиями по бокам. Около каждого отвер-стия внутри поставлен переключатель, имеющий два положения «вверх» и «вниз».
Разрешается засунуть руки в любые два отверстия, пощупать, как сто-ят переключатели и переключить их произвольным образом (в частности, можно не переключать).
После этого барабан вращается и после остановки нельзя установить, какие именно переключатели переключали в прошлый раз. Разрешается проделать эту операцию до 10 раз. Дверь в пещеру открывается, когда все переключатели в одном положении. Как Али-Бабе попасть в пещеру?
Operation
Groups of object
OLIMP
05
OLYMPUS
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
14
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
109
myolimp05_02 Простые числа
myolimp05_02 Prostye chisla
Object description
«Простым» числом называется число, которое делится только на себя и на единицу. Выпишите все простые числа, меньшие 100. Как вы думаете, существует ли самое большое простое число?
«Простым» числом называется число, которое делится только на себя и на единицу. Выпишите все простые числа, меньшие 100. Как вы думаете, существует ли самое большое простое число?
Operation
Groups of object
OLIMP
05
OLYMPUS
System properties
5
0
0
1
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
110
myolimp05_01 Тетрадный лист и человек
myolimp05_01 Tetradnyj list i chelovek
Object description
Можно ли в тетрадном листе бумаги прорезать дыру, в которую пролезет взрослый человек?
Можно ли в тетрадном листе бумаги прорезать дыру, в которую пролезет взрослый человек?
Operation
Groups of object
OLIMP
05
OLYMPUS
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
12
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
111
myolimp04_05 Король и 100 мудрецов
myolimp04_05 Korol i 100 mudrecov
Object description
Король решил устроить проверку своим ста мудрецам и сообщил, что на следующий день он выстроит всех с завязанными глазами в очередь и наденет каждому чёрный или белый колпак. После того, как глаза будут развязаны, каждый, начиная с последнего в очереди, назовёт предпола....
Король решил устроить проверку своим ста мудрецам и сообщил, что на следующий день он выстроит всех с завязанными глазами в очередь и наденет каждому чёрный или белый колпак. После того, как глаза будут развязаны, каждый, начиная с последнего в очереди, назовёт предполагаемый цвет своего колпака. Если он при этом не угадает, то будет казнён. У мудрецов ещё есть время договориться, как они будут действовать завтра. Скольким мудрецам наверняка удастся спастись?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
04
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
14
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
112
myolimp04_04 Отгадайте закономерность (Задача для 1-ого класса)
myolimp04_04 Otgadajte zakonomernost (Zadacha dlya 1-ogo klassa)
Object description
Отгадайте закономерность
101 1
181 2
286 3
898 ?
Отгадайте закономерность
101 1
181 2
286 3
898 ?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
04
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
34
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
113
myolimp04_03 Три Кольца
myolimp04_03 Tri Kolca
Object description
Соединить три верёвочных кольца так, что они все зацеплены между собой в единую конструкцию (т.е. можно взять эту конструкцию за любое кольцо и она не рассыплется), но если разрезать любое из 3-х колец, то оставшиеся два кольца окажутся несоединёнными.
Соединить три верёвочных кольца так, что они все зацеплены между собой в единую конструкцию (т.е. можно взять эту конструкцию за любое кольцо и она не рассыплется), но если разрезать любое из 3-х колец, то оставшиеся два кольца окажутся несоединёнными.
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
04
System properties
6
0
0
1
2
1
1
1
1
User properties
14
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
114
myolimp04_02 Иван Царевич и Кащей Бессмертный
myolimp04_02 Ivan Carevich i Kashej Bessmertnyj
Object description
В некотором царстве, в некотором государстве есть десять источников с мёртвой водой (№ 1, 2, ... , 10), которая по вкусу не отличается от обычной, но является сильным ядом (смертельным даже для Кащея Бессмертного). Противоядием для воды из любого источника является вода....
В некотором царстве, в некотором государстве есть десять источников с мёртвой водой (№ 1, 2, ... , 10), которая по вкусу не отличается от обычной, но является сильным ядом (смертельным даже для Кащея Бессмертного). Противоядием для воды из любого источника является вода из источника с большим номером (для воды из источника № 10 противоядия нет). Источ-ники № 1, ... , 9 общедоступны, источник № 10 доступен лишь Кащею. Иван вызвал Кащея на дуэль, предложив обменяться стаканами с мёрт-вой водой и выпить её. Кащей, конечно, согласился, предложив Ивану воды из источника № 10 и рассчитывая принять её в качестве противоядия. Од-нако Иван остался жив, а Кащей умер. Как Ивану это удалось?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
04
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
15
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
115
myolimp04_01 Сумма Гаусса
myolimp04_01 Summa Gaussa
Object description
Вычислить сумму 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 97 + 98 + 99 + 100
Вычислить сумму 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 97 + 98 + 99 + 100
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
04
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
20
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
116
myolimp03_07 Простоквашинская школа
myolimp03_07 Prostokvashinskaya shkola
Object description
В Простоквашинской начальной школе учится 20 детей. У любых двух из них есть общий дед. Докажите, что у одного из дедов в этой школе учится не менее 14 внуков. (Замечание: любой ребёнок не может иметь более двух дедушек).
В Простоквашинской начальной школе учится 20 детей. У любых двух из них есть общий дед. Докажите, что у одного из дедов в этой школе учится не менее 14 внуков. (Замечание: любой ребёнок не может иметь более двух дедушек).
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
03
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
16
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
117
myolimp03_06 Дети и волшебники
myolimp03_06 Deti i volshebniki
Object description
Каждый седьмой ребенок - воллшебник, каждый девятый волшебник -ребенок. Кого больше, детей или волшебников?
Каждый седьмой ребенок - воллшебник, каждый девятый волшебник -ребенок. Кого больше, детей или волшебников?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
03
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
35
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
118
myolimp03_05 Ночь. Мальчик, папа, мама и бабушка
myolimp03_05 Noch. Malchik, papa, mama i babushka
Object description
Ночь. Мальчик, папа, мама и бабушка находятся на одном берегу реки и хотят перейти по мосту на другой берег. Они имеют при себе 1 фонарик. По мосту могут идти максимум двое (обязательно с фонариком. Папа способен преодолеть мост за 1 минуту, мальчик за 2-е минуты, мама ....
Ночь. Мальчик, папа, мама и бабушка находятся на одном берегу реки и хотят перейти по мосту на другой берег. Они имеют при себе 1 фонарик. По мосту могут идти максимум двое (обязательно с фонариком. Папа способен преодолеть мост за 1 минуту, мальчик за 2-е минуты, мама - за 5, бабушка -за 10. За какое наименьшее вермя все они смогут переправиться на другой берег?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
03
System properties
10
0
0
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
User properties
39
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
119
myolimp03_04 Люди и собаки
myolimp03_04 Lyudi i sobaki
Object description
а) В семье 5 голов и 14 ног. Сколько из них людей, а сколько собак?
б) В семье 82 головы и 294 ноги. Сколько из них людей, а сколько собак?
а) В семье 5 голов и 14 ног. Сколько из них людей, а сколько собак?
б) В семье 82 головы и 294 ноги. Сколько из них людей, а сколько собак?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
03
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
28
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
120
myolimp03_03 Полк солдат
myolimp03_03 Polk soldat
Object description
Имеется полк солдат, они произвольно стоят в виде большого прямоугольника (со внутренностью). В каждом ряду выбираем самого высокого солдата из своего ряда. А потом из выбранных выбираем самого низкого. Затем в каждой шеренге выбираем самого низкого в своей шеренге, а з....
Имеется полк солдат, они произвольно стоят в виде большого прямоугольника (со внутренностью). В каждом ряду выбираем самого высокого солдата из своего ряда. А потом из выбранных выбираем самого низкого. Затем в каждой шеренге выбираем самого низкого в своей шеренге, а затем из них выбираем самого высокого. Вопрос - можно ли однозначно ответить кто окажется выше - самый высокий из низких или самый низкий из высоких? И если можно, то нужно дать ответ.
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
03
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
21
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
121
myolimp03_02 Монах и гора
myolimp03_02 Monah i gora
Object description
Монах живёт под горой. Каждое утро он встаёт, молится, затем весь день идёт на гору в храм и вечером молится там. Ложится спать. Утром просыпается, молится в храме на горе, а затем идёт весь день домой с горы по той же самой дороге. Причём и туда и обратно (и на гору и ....
Монах живёт под горой. Каждое утро он встаёт, молится, затем весь день идёт на гору в храм и вечером молится там. Ложится спать. Утром просыпается, молится в храме на горе, а затем идёт весь день домой с горы по той же самой дороге. Причём и туда и обратно (и на гору и в гору) монах идёт произвольным темпом. Вопрос: найдётся ли такая точка на его пути, где он будет и в первый и во второй день в одно и то же время?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
03
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
14
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
122
myolimp03_01 2 фитиля
myolimp03_01 2 fitilya
Object description
У Вас имеются спички и 2 длинных фитиля одинаковой длины. Каждый фитиль полностью сгорает за 1 час. Но оба фитиля горят НЕРАВНОМЕР-НО! (т.е. может такое быть, что за первые полчаса горения сгорит лишь ма-ленький кусочек фитиля, а за оставшиеся полчаса вся остальная его ....
У Вас имеются спички и 2 длинных фитиля одинаковой длины. Каждый фитиль полностью сгорает за 1 час. Но оба фитиля горят НЕРАВНОМЕР-НО! (т.е. может такое быть, что за первые полчаса горения сгорит лишь ма-ленький кусочек фитиля, а за оставшиеся полчаса вся остальная его часть). Ваша задача отмерить с помощью спичек и 2-х фитилей 45 минут.
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
03
System properties
12
0
0
1
1
1
2
3
1
1
1
1
2
3
1
User properties
26
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
123
myolimp02_10 Озеро в Южной Америке
myolimp02_10 Ozero v Yuzhnoj Amerike
Object description
В Южной Америке есть круглое озеро, где 1 июня каждого года в цен- тре озера появляется цветок Виктории Регии (стебель поднимается со дна, а лепестки лежат на воде, как у кувшинки). Каждые сутки площадь цветка увеличивается вдвое, и 1 июля он, наконец, покрывает всё озе....
В Южной Америке есть круглое озеро, где 1 июня каждого года в цен- тре озера появляется цветок Виктории Регии (стебель поднимается со дна, а лепестки лежат на воде, как у кувшинки). Каждые сутки площадь цветка увеличивается вдвое, и 1 июля он, наконец, покрывает всё озеро, лепестки осыпаются, семена опускаются на дно. Какого числа площадь цветка со- ставляет половину площади озера?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
02
ВСТУП
AZAZIRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
30
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
124
myolimp02_09 Стоп кран
myolimp02_09 Stop kran
Object description
Какого цвета стоп-кран в самолёте: красного или синего?
Какого цвета стоп-кран в самолёте: красного или синего?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
02
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
22
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
125
myolimp02_08 4 одинаковые таблетки
myolimp02_08 4 odinakovye tabletki
Object description
Врач прописал больному 4 таблетки 2-х видов, по 2-е таблетки каждо- го вида. Больной должен выпить 2-е таблетки разного вида утром и 2-е таблетки разного вида вечером. Все 4 таблетки неразличимы на вид, цвет, размер, вкус и т.д. Больной положил все 4 таблетки в один кар....
Врач прописал больному 4 таблетки 2-х видов, по 2-е таблетки каждо- го вида. Больной должен выпить 2-е таблетки разного вида утром и 2-е таблетки разного вида вечером. Все 4 таблетки неразличимы на вид, цвет, размер, вкус и т.д. Больной положил все 4 таблетки в один карман - и они перепутались. Как больному правильно выполнить указания врача?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
02
ВСТУП
AZAZIRA
System properties
6
0
0
1
1
1
1
1
1
User properties
26
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
126
myolimp02_07 Кусок мыла
myolimp02_07 Kusok myla
Object description
После 7 стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?
После 7 стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
02
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
31
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
127
myolimp02_06 Разрезание круглого торта
myolimp02_06 Razrezanie kruglogo torta
Object description
Как тремя прямолинейными разрезами разделить круглый торт на а) семь, б) восемь частей?
Как тремя прямолинейными разрезами разделить круглый торт на а) семь, б) восемь частей?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
02
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
34
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
128
myolimp02_05 Бочка вина и стакан чая
myolimp02_05 Bochka vina i stakan chaya
Object description
Из бочки вина перелили ложку его в (неполный) стакан с чаем. А потом такую же ложку (неоднородной) смеси из стакана - обратно в бочку. Теперь и в бочке, и в стакане имеется некоторый объём посторонней жидкости (вина в стакане, чая в бочке). Где объём посторонней жидкост....
Из бочки вина перелили ложку его в (неполный) стакан с чаем. А потом такую же ложку (неоднородной) смеси из стакана - обратно в бочку. Теперь и в бочке, и в стакане имеется некоторый объём посторонней жидкости (вина в стакане, чая в бочке). Где объём посторонней жидкости больше: в стакане или в бочке?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
02
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
22
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
129
myolimp02_04 Разрезание треугольника
myolimp02_04 Razrezanie treugolnika
Object description
Разрежьте треугольник на 4 треугольника, каждый из которых имеет общий отрезок границы с каждым из трёх других.
Разрежьте треугольник на 4 треугольника, каждый из которых имеет общий отрезок границы с каждым из трёх других.
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
02
ВСТУП
AZAZIRA
System properties
11
0
0
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
User properties
28
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
130
myolimp02_03 Охотник у палатки
myolimp02_03 Ohotnik u palatki
Object description
Охотник прошёл от своей палатки 10 км на юг, повернул на восток, прошёл прямо на восток ещё 10 км, убил медведя, повернул на север и, пройдя ещё 10 км, оказался у палатки. Какого цвета был медведь и где всё это было?
Охотник прошёл от своей палатки 10 км на юг, повернул на восток, прошёл прямо на восток ещё 10 км, убил медведя, повернул на север и, пройдя ещё 10 км, оказался у палатки. Какого цвета был медведь и где всё это было?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
02
System properties
18
0
0
1
1
2
1
2
3
1
2
1
1
1
2
1
2
3
1
2
1
User properties
30
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
131
myolimp02_02 Сестры и браться Васи
myolimp02_02 Sestry i bratsya Vasi
Object description
У Васи сестёр на 2 больше, чем братьев. На сколько у Васиных родите- лей больше дочерей, чем сыновей?
У Васи сестёр на 2 больше, чем братьев. На сколько у Васиных родите- лей больше дочерей, чем сыновей?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
02
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
24
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
132
myolimp02_01 Шахматы и доминошки
myolimp02_01 Shahmaty i dominoshki
Object description
Одна костяшка домино покрывает две клетки шахматной доски. По- крыть 31 костяшкой все клетки, кроме двух противоположных (на одной диагонали). [Шахматная доска состоит из 8 на 8 = 64 клеток]
Одна костяшка домино покрывает две клетки шахматной доски. По- крыть 31 костяшкой все клетки, кроме двух противоположных (на одной диагонали). [Шахматная доска состоит из 8 на 8 = 64 клеток]
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
02
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
21
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
133
myolimp01_10 Томики Пушкина
myolimp01_10 Tomiki Pushkina
Object description
На книжной полке рядом стоят два тома Пушкина: первый и второй. Страницы каждого тома имеют вместе толщину 2 см, а обложка - каждая - 2 мм. Червь прогрыз (перпендикулярно страницам) от первой страницы первого тома до последней страницы второго дома. Какой путь он прогры....
На книжной полке рядом стоят два тома Пушкина: первый и второй. Страницы каждого тома имеют вместе толщину 2 см, а обложка - каждая - 2 мм. Червь прогрыз (перпендикулярно страницам) от первой страницы первого тома до последней страницы второго дома. Какой путь он прогрыз?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
01
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
28
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
134
myolimp01_09 Дележка каши и лепешек
myolimp01_09 Delezhka kashi i lepeshek
Object description
а) Три охотника сварили кашу. Первый дал две кружки крупы, второй — одну, третий — ни одной, но он расплатился пятью патронами. Как должны поделить патроны первые два охотника?
б) У Ивана было 3 лепёшки, а у Петра - 4. Прохожий присоединился к их трапезе, заплатив ....
а) Три охотника сварили кашу. Первый дал две кружки крупы, второй — одну, третий — ни одной, но он расплатился пятью патронами. Как должны поделить патроны первые два охотника?
б) У Ивана было 3 лепёшки, а у Петра - 4. Прохожий присоединился к их трапезе, заплатив 7 копеек. Все ели поровну. Как следует распределить деньги между Петром и Иваном?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
01
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
26
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
135
myolimp01_08 Кружок где занимается Миша
myolimp01_08 Kruzhok gde zanimaetsya Misha
Object description
В кружке, где занимается Миша, более 93 процентов участников - девочки. Чему равно наименьшее возможное число участников?
В кружке, где занимается Миша, более 93 процентов участников - девочки. Чему равно наименьшее возможное число участников?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
01
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
28
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
136
myolimp01_07 Волк, коза и капуста
myolimp01_07 Volk, koza i kapusta
Object description
Волк, коза и капуста должны быть перевезены мужиком через реку в лодке, но лодка столь мала, что он может брать с собой только один из трёх грузов. Как перевезти все три груза (волка нельзя оставлять наедине с козой, а козу - с капустой) через реку?
Волк, коза и капуста должны быть перевезены мужиком через реку в лодке, но лодка столь мала, что он может брать с собой только один из трёх грузов. Как перевезти все три груза (волка нельзя оставлять наедине с козой, а козу - с капустой) через реку?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
01
ВСТУП
AZAZIRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
42
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
137
myolimp01_06 Ручей и 2 ведра 15 и 16 литров
myolimp01_06 Ruchej i 2 vedra 15 i 16 litrov
Object description
Можно ли отмерить 8 литров воды, находясь у ручья и имея два ведра вместимостью 15 литров и 16 литров соответственно?
Можно ли отмерить 8 литров воды, находясь у ручья и имея два ведра вместимостью 15 литров и 16 литров соответственно?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
01
ВСТУП
AZAZIRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
37
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
138
myolimp01_05 Разрезать квадрат на 5 прямоугольников
myolimp01_05 Razrezat kvadrat na 5 pryamougolnikov
Object description
Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников, никакие два из которых не имеют общей стороны
Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников, никакие два из которых не имеют общей стороны
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
01
ВСТУП
AZAZIRA
System properties
7
0
0
1
1
1
1
1
1
1
User properties
37
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
139
myolimp01_04 Люки
myolimp01_04 Lyuki
Object description
Почему водопроводные и канализационные люки круглые, а не квадратные?
Почему водопроводные и канализационные люки круглые, а не квадратные?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
01
System properties
6
0
0
1
1
1
1
1
1
User properties
35
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
0
0
Name
140
myolimp01_03 Кирпич
myolimp01_03 Kirpich
Object description
Кирпич весит килограмм и полкирпича. Сколько весит кирпич?
Кирпич весит килограмм и полкирпича. Сколько весит кирпич?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
01
ВСТУП
AZAZIRA
System properties
4
0
0
1
1
1
1
User properties
44
0
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
1
0
Name
141
myolimp01_02 Бутылка с пробкой
myolimp01_02 Butylka s probkoj
Object description
Бутылка с пробкой стоит 10 рублей, причём бутылка на 9 рублей дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?
Бутылка с пробкой стоит 10 рублей, причём бутылка на 9 рублей дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
01
ВСТУП
AZAZIRA
System properties
6
0
0
1
1
1
1
1
1
User properties
45
0
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Foto
1
0
Name
142
myolimp01_01 Маша и букварь
myolimp01_01 Masha i bukvar
Object description
У Маши не хватало для покупки букваря семи копеек, а у Миши одной копейки. Они сложились, чтобы купить один букварь на двоих, но денег всё равно не хватило. Сколько стоил букварь?
У Маши не хватало для покупки букваря семи копеек, а у Миши одной копейки. Они сложились, чтобы купить один букварь на двоих, но денег всё равно не хватило. Сколько стоил букварь?
Operation
Groups of object
OLYMPUS
OLIMP
01
ВСТУП
AZAZIRA
System properties
6
0
0
1
1
1
1
1
1
User properties
43
0
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Home
About
Canvas
Contacts
Developers
Jobs
Help
Pangeya company ©
2019 - 2025
English
▼
Cancel
Continue
Confirm that you are a human
Send
Cancel
Expand
Close
Close
0
from 200
Last modified date:
Cancel
Select All
Cancel All
Cancel
Cancel
Cancel
Cancel
Down
Cancel
