Pangeya

Foto

	0
	0

Name

32	Арифметическая прогрессия Arifmeticheskaya progressiya

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 3
Классы: 9,10

Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел. Сумма первых n членов этой прогрессии является степенью двойки. Докажите, что n – также степень двойки .

Решение
Удвоенная сумма прогрессии – тоже степень ....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

33	В старой усадьбе дом V staroj usadbe dom

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 3
Классы: 6,7

В старой усадьбе дом обсажен по кругу высокими деревьями — елями, соснами и березами. Всего деревьев 96. Эти деревья обладают странным свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного — одно хвойное, а др....

Сложность: 3
Классы: 6,7

В старой усадьбе дом обсажен по кругу высокими деревьями — елями, соснами и березами. Всего деревьев 96. Эти деревья обладают странным свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного — одно хвойное, а другое лиственное, и из двух деревьев, растущих через три от любого хвойного — тоже одно хвойное, а другое лиственное. Сколько берез посажено вокруг дома?

Подсказка
Заметьте, что услови наложено на деревья одной "четности".

Решение
Уберем мысленно половину деревьев — посаженных через одно. Тогда останется 48 деревьев, а условие станет таким: из двух деревьев, растущих рядом с хвойным, — одно хвойное, а другое береза, и из двух деревьев, растущих через одно от хвойного, — тоже одно хвойное, а другое береза.
Рассмотрим одно из посаженных хвойных деревьев. Назовем его деревом 1 и занумеруем все деревья по порядку. Если дерево 1 хвойное, то из деревьев 48 и 2 — одно хвойное, другое — береза.
Будем для определенности считать, что дерево 2 — береза, а 48 — хвойное. Рассмотрим дерево 48. Рядом с ним — дерево 1 (хвойное) и 47 (значит, 47 — береза). Через одно дерево от 1 — 47 (береза) и 3 (значит, 3 — хвойное).
У дерева 3 два соседа — 2 (береза) и 4 (хвойное). Теперь ясно, что все время повторяется группа из трех деревьев — БХХ — береза и два хвойных. Всего деревьев 48, значит, эта группа повторится 16 раз. Аналогично вычисляется число берез в оставшейся половине деревьев — их тоже 16. Итак, вокруг замка посажено 32 березы.

Ответ
32 березы.

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

34	Можно ли выписать в ряд десять чисел Mozhno li vypisat v ryad desyat chisel

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Можно ли выписать в ряд десять чисел так, чтобы сумма любых пяти чисел подряд была бы положительна, а сумма любых семи подряд отрицательна?

Подсказка
Можно ли выписать в ряд десять чисел так, чтобы сумма....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

35	2012 правильных игральных костей 2012 pravilnyh igralnyh kostej

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 3-
Классы: 8,9,10,11

2012 правильных игральных костей (кубиков) составили в ряд таким образом, что каждые две соседние кости прилегают друг другу одинаковыми гранями (принцип домино). В остальном положение костей случай....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

36	Имеются 552 гири весом Imeyutsya 552 giri vesom

Object description Switch object description to full mode

Имеются 552 гири весом 1г, 2г, 3г, ..., 552г. Разложите их на три равные по весу кучки.

Подсказка
Число гирь делится на 6.

Решение
Так как число 552 делится на 6, то покажем как разложить в разные группы подряд идущие 6 чисел. На....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

37	Чему равна сумма цифр Chemu ravna summa cifr

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 2
Классы: 7,8,9

Чему равна сумма цифр всех чисел от единицы до миллиарда?

Решение
Добавим к этим числа ноль и составим 500 миллионов пар: (0, 999 999 999), (1, 999 999 998) и так далее. В каждой паре сумма цифр равна 81....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

38	Когда Буратино отправился на занятия ВМШ Kogda Buratino otpravilsya na zanyatiya VMSh

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 2
Классы: 7,8,9

Когда Буратино отправился на занятия ВМШ, папа Карло пообещал ему заплатить за первую правильно решенную задачу одну копейку, за вторую - две копейки, за третью - четыре, и т.д. За месяц Буратино получил 655 руб 35 коп.....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

39	Можно ли выписать в строчку 2000 чисел Mozhno li vypisat v strochku 2000 chisel

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 2
Классы: 7,8,9

Можно ли выписать в строчку 2000 чисел так, чтобы сумма любых трех последовательных чисел была отрицательной, а сумма всех чисел - положительной?

Подсказка
Чередуйте 2 положительных числа с ....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

40	Инопланетянин со звезды Тау Кита Inoplanetyanin so zvezdy Tau Kita

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 2
Классы: 6

Инопланетянин со звезды Тау Кита, прилетев на Землю в понедельник, воскликнул: ''А!''.
Во вторник он воскликнул: ''АУ!'', в среду — ''АУУА!'', в четверг — ''АУУАУААУ!''. Что он воскликнет в субботу? ....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

41	Начнём считать пальцы на правой руке Nachnem schitat palcy na pravoj ruke

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 2
Классы: 5,6,7

Начнём считать пальцы на правой руке: первый – мизинец, второй – безымянный, третий – средний, четвёртый – указательный, пятый – большой, шестой – снова указательный, седьмой – снова средний, восьмой – безымянный, девяты....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

42	Тринадцать индюшат клевали зерно. Trinadcat indyushat klevali zerno.

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 2
Классы: 6,7

Тринадцать индюшат клевали зерно. Первый индюшонок склевал 40 зёрен; второй – 60, каждый следующий – среднее арифметическое зёрен, склеванных всеми предыдущими индюшатами. Сколько зёрен склевал 10-й индюшонок?

По....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

43	В классе 32 ученика. V klasse 32 uchenika.

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ....

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.

Решение
Решим более общую задачу: пусть k учеников занимаются в n кружках (из трех человек), k ≤ n. Предположим противное: каждые два кружка либо не пересекаются, либо пересекаются ровно по двум ученикам. Заметим, что если кружки K и L пересекаются с кружком M, то они пересекаются и между собой (их пересечения с M имеют общий элемент). Значит, кружки разбиваются на группы пересекающихся между собой кружков. Каждой группе кружков соответствует группа учеников – объединение их составов. Эти группы также не пересекаются. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ.
Поскольку кружков больше, чем учеников, в какой-то группе это неравенство также сохраняется. Поставим в соответствие каждой паре кружков этой группы пару учеников, каждый из которых ходит ровно в один из этих кружков. Пар кружков больше, чем пар учеников, поэтому какой-то паре учеников {a, b} соответствует по крайней мере две пары кружков {a, c, d}, {b, c, d} и {a, u, v}, {b, u, v}. Но кружки {a, c, d} и {b, u, v} не могут иметь двух общих учеников, поскольку пары {c, d} и {u, v} не совпадают. Противоречие.
Второй способ.
Если в группе, содержащей некоторый кружок {a, b, c}, есть кружки, содержащие хотя бы две из трех пар {a, b}, {a, c}, {b, c}, скажем кружок {a, b, d} и кружок {a, c, e}, то d = e (два последних кружка должны иметь двух общих членов). Единственный возможный кружок, пересекающийся с каждым из этих трех по двум элементам, – это {b, c, d}. Таким образом, в такой группе не более 4 кружков, куда ходят не менее 4 учеников.
Если же все кружки группы содержат только одну из трех указанных пар (например, {a, b}), то количество кружков в ней на 2 меньше количества всех учеников, их посещающих.
Итак, число кружков не превосходит числа учеников в классе.

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

44	Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках Kazhdyj iz uchenikov klassa zanimaetsya ne bolee chem v dvuh kruzhkah

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 4-
Классы: 5,6,7

Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причем для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдется кружок, в котором занимается не менее двух тр....

Сложность: 4-
Классы: 5,6,7

Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причем для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдется кружок, в котором занимается не менее двух третей всего класса.

Решение
Если в некоторый кружок ходит весь класс, то все в порядке. Далее мы считаем, что такого кружка нет. Пусть самый многочисленный кружок – математический; его участников мы будем называть математиками. Есть ученик Вася, который в него не ходит. Рассмотрим его и одного из математиков. Они вместе ходят в другой кружок, допустим, в фото. Вася не может ходить в этот кружок вместе со всеми математиками, иначе математический кружок не будет самым многочисленным. Значит, с кем-то из математиков он ходит ещё в один кружок, например, в танцевальный. Итак, каждый математик ещё является либо фотографом, либо танцором (и никем другим). То, что было выше сказано про Васю, можно сказать и про любого ученика, который не является математиком: каждый из таких учеников – фотограф и танцор одновременно (и больше ни в какие кружки не ходит). Таким образом, кружков всего три, и каждый ученик ходит ровно в два кружка. Пусть в классе n учеников, тогда на три кружка в общей сложности приходится 2n их участников. Поэтому в математический кружок (самый многочисленный) ходит не менее, чем 2n/3 учеников.

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

45	Дима провёл социальный опрос и выяснил про жителей своего подъезда Dima provel socialnyj opros i vyyasnil pro zhitelej svoego podezda

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

Дима провёл социальный опрос и выяснил про жителей своего подъезда, что: 25 из них играют в шахматы, 30 были в Архангельске, 28 летали на самолете.
Среди летавших на самолете 18 играют в шахматы и 17 были в Арх....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

46	В классе учится 23 человека. V klasse uchitsya 23 cheloveka.

Object description Switch object description to full mode

В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких пра....

В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одинаковое число раз?
(Считается, что на каждом празднике встретились каждые два гостя, а также именинник встретился со всеми гостями.)

Решение
Предъявим примеры, как такое могло произойти.
Первый пример. Выстроим учеников по кругу. Предположим, что к каждому на день рождения пришли все одноклассники, кроме следующего за ним по часовой стрелке. Тогда каждые два ученика A и B встретились на всех празднованиях, кроме двух: того, на которое не пришёл A, и того, на которое не пришёл B. Значит, каждая пара учеников встретилась 21 раз.
Второй пример. Выделим из класса двух учеников A и B. Пусть на день рождения к A пришли все одноклассники, кроме B, на день рождения к B пришёл только A, а на остальные дни рождения приходил только B. Тогда каждая пара, в которой нет B, встретилась только на дне рождения A, а все пары, содержащие B, встречались ровно по разу на остальных празднованиях. Итого, каждая пара встретилась ровно по разу.

Ответ
Могло.

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

47	В некотором царстве живут маги, чародеи и волшебники. V nekotorom carstve zhivut magi, charodei i volshebniki.

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

В некотором царстве живут маги, чародеи и волшебники. Про них известно следующее: во-первых, не все маги являются чародеями, во-вторых, если волшебник не является чародеем, то он не маг. Правда ли, что не все маги -- вол....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

48	У каждого из тридцати шестиклассников есть одна ручка U kazhdogo iz tridcati shestiklassnikov est odna ruchka

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 3
Классы: 5,6

У каждого из тридцати шестиклассников есть одна ручка, один карандаш и одна линейка. После их участия в олимпиаде оказалось, что 26 учеников потеряли ручку, 23 – линейку и 21 – карандаш. Найдите наименьшее возможное количе....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

49	В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы V gruppe iz 50 rebyat nekotorye znayut vse bukvy

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 3-
Классы: 6,7,8

В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы, кроме "р", которую просто пропускают при письме, а остальные знают все буквы, кроме "к", которую тоже пропускают. Однажды учитель попросил 10 учеников написать слово "кот....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

50	В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. V sadu u Ani i Viti roslo 2006 rozovyh kustov.

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 2
Классы: 6,7,8
В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовы....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

51	Фили и Кили играют в шахматы. Fili i Kili igrayut v shahmaty.

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 2
Классы: 7,8

Фили и Кили играют в шахматы. Кроме шахматной доски у них есть одна ладья, которую они поставили в правый нижний угол, и делают ей ходы по очереди, причем ходить разрешается только вверх или влево (на любое количество к....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

52	Шифр кодового замка является двузначным числом. Shifr kodovogo zamka yavlyaetsya dvuznachnym chislom.

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 2
Классы: 7,8

Шифр кодового замка является двузначным числом. Буратино забыл код, но помнит, что сумма цифр этого числа, сложенная с их произведением, равна самому числу. Напишите все возможные варианты кода, чтобы Буратино смог быс....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

53	В книжном шкафу V knizhnom shkafu

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 2
Классы: 5,6,7

В книжном шкафу стоят по порядку четыре тома собрания сочинений Астрид Линдгрен, по 200 страниц в каждом томе. Червячок, живущий в этом собрании прогрыз путь от первой страницы первого тома до последней страницы четверто....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

54	На столе лежат в ряд четыре фигуры Na stole lezhat v ryad chetyre figury

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 2
Классы: 5,6,7,8
На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и ромб. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, жёлтый, зелёный. Известно, что красная фигура лежит между синей и зелёной; справа от жёлтой фигуры л....

Сложность: 2
Классы: 5,6,7,8
На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и ромб. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, жёлтый, зелёный. Известно, что красная фигура лежит между синей и зелёной; справа от жёлтой фигуры лежит ромб; круг лежит правее и треугольника и ромба; треугольник лежит не с краю; синяя и жёлтая фигуры лежат не рядом. Определите, в каком порядке лежат фигуры и какого они цвета.

Подсказка
Попробуйте сначала определить, как расположены фигуры по цвету, не обращая внимание на их форму.

Решение
Для удобства изложения повторим все условия задачи:
1) красная фигура — между синей и зелёной;
2) справа от жёлтой фигуры — ромб;
3) круг — правее и треугольника и ромба;
4) треугольник — не с краю;
5) синяя и жёлтая фигуры — не рядом.
Поскольку красная фигура лежит между синей и зелёной (условие 1), а жёлтая — не рядом с синей (условие 5), то возможны только два варианта расположения фигур по цвету: "синяя, красная, зелёная, жёлтая" или "жёлтая, зелёная, красная, синяя".
Первый из приведённых вариантов неверен, поскольку по условию 2 жёлтая фигура не может лежать на правом крае.
Остаётся только одна возможность расположения фигур по цветам: "жёлтая, зелёная, красная, синяя".
Из условия 2 сразу же определяется, что ромб зелёный. Отсюда и из условия 4 следует, что треугольник красный.
В свою очередь отсюда и из условия 3 следует, что круг синий. Значит, прямоугольник может быть только жёлтым.
Окончательный ответ: жёлтый прямоугольник, зелёный ромб, красный треугольник, синий круг.

Ответ
Жёлтый прямоугольник, зелёный ромб, красный треугольник, синий круг.

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

55	Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок Macheha, uezzhaya na bal, dala Zolushke meshok

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела перебрать их.
Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка: в одном было просо, в другом — мак, а в третьем — ещё не разо....

Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела перебрать их.
Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка: в одном было просо, в другом — мак, а в третьем — ещё не разобранная смесь.
Чтобы не перепутать мешки, Золушка к каждому из них прикрепила по табличке: "Мак", "Просо" и "Смесь". Мачеха вернулась с бала первой и нарочно поменяла местами все таблички так, чтобы на каждом мешке оказалась неправильная надпись.
Ученик Феи успел предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на мешках не соответствует действительности.
Тогда Золушка достала только одно-единственное зёрнышко из одного мешка и, посмотрев на него, сразу догадалась, где что лежит.
Как она это сделала?

Подсказка
Подумайте, можно ли взять зёрнышко из мешка, на котором написано "Мак".

Решение
Надо взять зёрнышко из того мешка, на котором написано "Смесь". В нём не может оказаться смесь, значит, в нём лежат именно те зёрна, которые мы оттуда достанем. Пусть для определённости в этом мешке лежит мак. (Это предположение делается также и для удобства изложения; впрочем, в качестве упражнения попробуйте повторить все рассуждения для случая, когда в мешке с надписью "Смесь" лежит просо.) Итак, в мешке с надписью "Смесь" лежит мак. Это значит, что в мешке с надписью "Мак" может лежать только просо (если бы там лежала смесь, то в мешке с надписью "Просо" лежало бы просо, что невозможно). Отсюда сразу следует, что в мешке с надписью "Просо" лежит смесь.

Ответ
Надо взять зёрнышко из мешка, на котором написано "Смесь".

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

56	Девочка заменила каждую букву в своём имени Devochka zamenila kazhduyu bukvu v svoem imeni

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите. Получилось число 2011533. Как её зовут?

Подсказка
Обратите внимание: первая буква имеет номер либо 2, либо 20.

Решение
Ч....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

57	Старый сапожник Карл Staryj sapozhnik Karl

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Старый сапожник Карл сшил сапоги и послал своего сына Ганса на базар – продать их за 25 талеров. На базаре к мальчику подошли два инвалида (один без левой ноги, другой – без правой) и попросили продать им по сапогу. Ганс согласился и продал каждый сапог за 12,5 талеров.
Когда мальчик пришёл домой и рассказал всё отцу, Карл решил, что инвалидам надо было продать сапоги дешевле – каждому за 10 талеров. Он дал Гансу 5 талеров и велел вернуть каждому инвалиду по 2,5 талера.
Пока мальчик искал на базаре инвалидов, он увидел, что продают сладости, не смог удержаться и истратил 3 талера на конфеты. После этого он нашёл инвалидов и отдал им оставшиеся деньги – каждому по одному талеру. Возвращаясь домой, Ганс понял, как нехорошо он поступил. Он рассказал всё отцу и попросил прощения. Сапожник сильно рассердился и наказал сына, посадив его в тёмный чулан.
Сидя в чулане, Ганс задумался. Получалось, что раз он вернул по одному талеру, то инвалиды заплатили за каждый сапог по 11,5 талеров: 12,5 – 1 = 11,5. Значит, сапоги стоили 23 талера: 2·11,5 = 23. И 3 талера Ганс истратил на конфеты, следовательно, всего получается 26 талеров: 23 3 = 26. Но ведь было-то 25 талеров! Откуда же взялся лишний талер?

Подсказка
Подумайте, сколько денег должен был получить Карл, сколько он их получил и почему.

Решение
Инвалиды заплатили за сапоги 23 талера, но Карл от них получил только 20, поскольку остальные 3 талера Ганс истратил на конфеты. Ганс, сидя в чулане, складывал доход (23 талера) с расходом (3 талера). Эта сумма не имеет никакого смысла. Другое дело, если бы он вычислил разность дохода и расхода – тогда остался бы "чистый" доход, т.е. те самые 20 талеров, которые в итоге получил Карл.

Operation

Groups of object

Foto

	1
	0

Name

58	Среди математиков каждый седьмой — философ Sredi matematikov kazhdyj sedmoj filosof

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 2
Классы: 6,7
Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?

Подсказка
Рассмотрите людей, являющихся математиками и философами одновременно.
....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

59	В комнате находятся 85 воздушных шаров V komnate nahodyatsya 85 vozdushnyh sharov

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 2
Классы: 5,6
В комнате находятся 85 воздушных шаров — красных и синих. Известно, что: 1) по крайней мере один из шаров красный, 2) из каждой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один синий. Сколько в комнате красных шаров?
....

Operation

Groups of object

Foto

	0
	0

Name

60	В 10-этажном доме на первом этаже живет 1 V 10-etazhnom dome na pervom etazhe zhivet 1

Object description Switch object description to full mode

Сложность: 2
Классы: 5
В 10-этажном доме на первом этаже живет 1 человек, на втором — 2, на третьем — 3, на четвертом — 4, ... на десятом — 10. На каком этаже лифт останавливается чаще всего?

Решение
На первом.

Operation

Groups of object