Pangeya
Cancel
You are in the mode
of Guest
LOGIN
E-mail / Login / Phone
Password
Forgot password
View page of user
Математические задачки (Math problems)
All objects
View objects
Логика
теория
Теория
множест
Последо
вательн
Системы
счисл
Задачи
шутки
Show groups
objects 31-60 from 75 (All objects)
Chronological▼
Alphabetical▼
Alfavit_en▼
Author's▼
1
2
3
Foto
0
0
Name
31
Даны пятьдесят различных натуральных чисел
Dany pyatdesyat razlichnyh naturalnyh chisel
Object description
Сложность: 3
Классы: 8,9
Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел. ....
Сложность: 3
Классы: 8,9
Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.
Решение
Вычтем 50 из каждого числа, которое больше 50. Получатся 50 разных чисел, то есть числа от 1 до 50. Их сумма равна 1 2 … 50 = 25·51, а сумма исходных чисел – 25·51 25·50 = 25·101.
Ответ
2525.
Operation
Groups of object
Последо
вательн
Foto
0
0
Name
32
Арифметическая прогрессия
Arifmeticheskaya progressiya
Object description
Сложность: 3
Классы: 9,10
Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел. Сумма первых n членов этой прогрессии является степенью двойки. Докажите, что n – также степень двойки .
Решение
Удвоенная сумма прогрессии – тоже степень ....
Сложность: 3
Классы: 9,10
Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел. Сумма первых n членов этой прогрессии является степенью двойки. Докажите, что n – также степень двойки .
Решение
Удвоенная сумма прогрессии – тоже степень двойки. Согласно формуле суммы арифметической прогрессии эта удвоенная сумма делится на количество членов. А делитель степени простого числа – тоже степень этого числа.
Operation
Groups of object
Последо
вательн
Foto
0
0
Name
33
В старой усадьбе дом
V staroj usadbe dom
Object description
Сложность: 3
Классы: 6,7
В старой усадьбе дом обсажен по кругу высокими деревьями — елями, соснами и березами. Всего деревьев 96. Эти деревья обладают странным свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного — одно хвойное, а др....
Сложность: 3
Классы: 6,7
В старой усадьбе дом обсажен по кругу высокими деревьями — елями, соснами и березами. Всего деревьев 96. Эти деревья обладают странным свойством: из двух деревьев, растущих через одно от любого хвойного — одно хвойное, а другое лиственное, и из двух деревьев, растущих через три от любого хвойного — тоже одно хвойное, а другое лиственное. Сколько берез посажено вокруг дома?
Подсказка
Заметьте, что услови наложено на деревья одной "четности".
Решение
Уберем мысленно половину деревьев — посаженных через одно. Тогда останется 48 деревьев, а условие станет таким: из двух деревьев, растущих рядом с хвойным, — одно хвойное, а другое береза, и из двух деревьев, растущих через одно от хвойного, — тоже одно хвойное, а другое береза.
Рассмотрим одно из посаженных хвойных деревьев. Назовем его деревом 1 и занумеруем все деревья по порядку. Если дерево 1 хвойное, то из деревьев 48 и 2 — одно хвойное, другое — береза.
Будем для определенности считать, что дерево 2 — береза, а 48 — хвойное. Рассмотрим дерево 48. Рядом с ним — дерево 1 (хвойное) и 47 (значит, 47 — береза). Через одно дерево от 1 — 47 (береза) и 3 (значит, 3 — хвойное).
У дерева 3 два соседа — 2 (береза) и 4 (хвойное). Теперь ясно, что все время повторяется группа из трех деревьев — БХХ — береза и два хвойных. Всего деревьев 48, значит, эта группа повторится 16 раз. Аналогично вычисляется число берез в оставшейся половине деревьев — их тоже 16. Итак, вокруг замка посажено 32 березы.
Ответ
32 березы.
Operation
Groups of object
Последо
вательн
Foto
0
0
Name
34
Можно ли выписать в ряд десять чисел
Mozhno li vypisat v ryad desyat chisel
Object description
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
Можно ли выписать в ряд десять чисел так, чтобы сумма любых пяти чисел подряд была бы положительна, а сумма любых семи подряд отрицательна?
Подсказка
Можно ли выписать в ряд десять чисел так, чтобы сумма....
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
Можно ли выписать в ряд десять чисел так, чтобы сумма любых пяти чисел подряд была бы положительна, а сумма любых семи подряд отрицательна?
Подсказка
Можно ли выписать в ряд десять чисел так, чтобы сумма любых пяти чисел подряд была бы положительна, а сумма любых семи подряд отрицательна?
Решение
Условию задачи удовлетворяют, например, такие числа 20, -30, 20, -30, 24, 24, -30, 20, -30,20
Operation
Groups of object
Последо
вательн
Foto
0
0
Name
35
2012 правильных игральных костей
2012 pravilnyh igralnyh kostej
Object description
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10,11
2012 правильных игральных костей (кубиков) составили в ряд таким образом, что каждые две соседние кости прилегают друг другу одинаковыми гранями (принцип домино). В остальном положение костей случай....
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10,11
2012 правильных игральных костей (кубиков) составили в ряд таким образом, что каждые две соседние кости прилегают друг другу одинаковыми гранями (принцип домино). В остальном положение костей случайное. Найдите сумму очков, которые оказались на поверхности получившейся фигуры.
Решение
Сумма очков на кубике равна 1 2 3 4 5 6 = 21. Общая сумма очков на всех кубиках равна 2012·21. У правильной кости сумма очков на противоположных гранях равна 7. Пусть на торцевой грани первого кубика x очков. Тогда на торцевой грани последнего кубика тоже x очков. Значит, сумма очков на прилегающих друг к другу гранях равна 2012·7 – 2x. Вычитая эту сумму из общего числа очков, получаем: 2012·(21 – 7) 2x = 28168 2x.
Ответ
28170, 28172, 28174, 28176, 28178 или 28180.
Operation
Groups of object
Последо
вательн
Foto
0
0
Name
36
Имеются 552 гири весом
Imeyutsya 552 giri vesom
Object description
Имеются 552 гири весом 1г, 2г, 3г, ..., 552г. Разложите их на три равные по весу кучки.
Подсказка
Число гирь делится на 6.
Решение
Так как число 552 делится на 6, то покажем как разложить в разные группы подряд идущие 6 чисел. На....
Имеются 552 гири весом 1г, 2г, 3г, ..., 552г. Разложите их на три равные по весу кучки.
Подсказка
Число гирь делится на 6.
Решение
Так как число 552 делится на 6, то покажем как разложить в разные группы подряд идущие 6 чисел. Надо рассмотреть группы 1 группа n (n 5) 2 группа (n 1) (n 4) 3 группа (n 2) (n 3) при n=1,7,13,,547 и разные группы разложить по разным кучкам.
Operation
Groups of object
Последо
вательн
Foto
0
0
Name
37
Чему равна сумма цифр
Chemu ravna summa cifr
Object description
Сложность: 2
Классы: 7,8,9
Чему равна сумма цифр всех чисел от единицы до миллиарда?
Решение
Добавим к этим числа ноль и составим 500 миллионов пар: (0, 999 999 999), (1, 999 999 998) и так далее. В каждой паре сумма цифр равна 81....
Сложность: 2
Классы: 7,8,9
Чему равна сумма цифр всех чисел от единицы до миллиарда?
Решение
Добавим к этим числа ноль и составим 500 миллионов пар: (0, 999 999 999), (1, 999 999 998) и так далее. В каждой паре сумма цифр равна 81, и кроме того, мы забыли число 1 000 000 000; поэтому общая сумма равна 500 000 000 × 81 1 = 40 500 000 001.
Ответ
40 500 000 001.
Operation
Groups of object
Последо
вательн
Foto
0
0
Name
38
Когда Буратино отправился на занятия ВМШ
Kogda Buratino otpravilsya na zanyatiya VMSh
Object description
Сложность: 2
Классы: 7,8,9
Когда Буратино отправился на занятия ВМШ, папа Карло пообещал ему заплатить за первую правильно решенную задачу одну копейку, за вторую - две копейки, за третью - четыре, и т.д. За месяц Буратино получил 655 руб 35 коп.....
Сложность: 2
Классы: 7,8,9
Когда Буратино отправился на занятия ВМШ, папа Карло пообещал ему заплатить за первую правильно решенную задачу одну копейку, за вторую - две копейки, за третью - четыре, и т.д. За месяц Буратино получил 655 руб 35 коп. Сколько задач он решил?
Решение
Для простоты вычислений предположим, что до посещения занятий ВМШ у Буратино была одна копейка. Тогда после решения первой задачи у Буратино будет 2 копейки. Решив вторую, он получит еще две, и у него станет 2*2=4 копейки. Решив третью, он получит еще четыре и у него будет 8 копеек. Мы видим, что после решения очередной задачи состояние Буратино удваивается. Продолжая вычисления, мы получим, что после решения 16 задач у Буратино будет 216=65536 копеек. Эта сумма совпадает с состоянием Буратино после месяца занятий, следовательно он решил именно 16 задач.
Ответ
16 задач.
Operation
Groups of object
Последо
вательн
Foto
0
0
Name
39
Можно ли выписать в строчку 2000 чисел
Mozhno li vypisat v strochku 2000 chisel
Object description
Сложность: 2
Классы: 7,8,9
Можно ли выписать в строчку 2000 чисел так, чтобы сумма любых трех последовательных чисел была отрицательной, а сумма всех чисел - положительной?
Подсказка
Чередуйте 2 положительных числа с ....
Сложность: 2
Классы: 7,8,9
Можно ли выписать в строчку 2000 чисел так, чтобы сумма любых трех последовательных чисел была отрицательной, а сумма всех чисел - положительной?
Подсказка
Чередуйте 2 положительных числа с одним отрицательным.
Решение
Число 2000 не делится на 3 и общая сумма может быть положительной (хотя сумма любых трех последовательных чисел отрицательна) за счет того, первые два и последние два числа достаточно большие положительные числа. Приведем соответствующий пример строчки чисел: 1000, 1000, -2001, 1000, 1000, -2001, ... , 1000, 1000, -2001, 1000, 1000. В этой последовательности встречаются 666 троек (1000, 1000, -2001), и последние два числа равны 1000. В каждую тройку последовательных чисел входят два числа, равных 1000, и одно число -2001, поэтому сумма любых трех последовательных чисел равна -1. Сумма всех чисел равна (-1)*666 1000 1000=1334 - число положительное.
Ответ
можно.
Operation
Groups of object
Последо
вательн
Foto
0
0
Name
40
Инопланетянин со звезды Тау Кита
Inoplanetyanin so zvezdy Tau Kita
Object description
Сложность: 2
Классы: 6
Инопланетянин со звезды Тау Кита, прилетев на Землю в понедельник, воскликнул: ''А!''.
Во вторник он воскликнул: ''АУ!'', в среду — ''АУУА!'', в четверг — ''АУУАУААУ!''. Что он воскликнет в субботу? ....
Сложность: 2
Классы: 6
Инопланетянин со звезды Тау Кита, прилетев на Землю в понедельник, воскликнул: ''А!''.
Во вторник он воскликнул: ''АУ!'', в среду — ''АУУА!'', в четверг — ''АУУАУААУ!''. Что он воскликнет в субботу?
Подсказка
Разбейте ''следующее'' высказывание пополам и сравните с ''предыдущим''.
Решение
Разбив ''следующее'' высказывание на две равные части, мы видим, что первая половина совпадает с ''предыдущим'', а вторая получается из предыдущего ''отражением в зеркале'', то есть заменой букв А на буквы У и наоборот.
Ответ
'' АУУАУААУУААУАУУАУААУАУУААУУАУААУ!''
Operation
Groups of object
Последо
вательн
Foto
0
0
Name
41
Начнём считать пальцы на правой руке
Nachnem schitat palcy na pravoj ruke
Object description
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Начнём считать пальцы на правой руке: первый – мизинец, второй – безымянный, третий – средний, четвёртый – указательный, пятый – большой, шестой – снова указательный, седьмой – снова средний, восьмой – безымянный, девяты....
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Начнём считать пальцы на правой руке: первый – мизинец, второй – безымянный, третий – средний, четвёртый – указательный, пятый – большой, шестой – снова указательный, седьмой – снова средний, восьмой – безымянный, девятый – мизинец, десятый – безымянный и т. д. Какой палец будет по счету 2004-м?
Подсказка
Заметьте, с некоторого момента начнет повторяться группа из восьми пальцев: безымянный, средний, указательный, большой, указательный, средний, безымянный, мизинец.
Решение
Первый палец – мизинец, а затем все время повторяется группа из восьми пальцев: безымянный, средний, указательный, большой, указательный, средний, безымянный, мизинец. Когда мы станем перечислять пальцы, первым будет мизинец, затем 250 раз повторится группа из восьми пальцев, а потом – последние два. Второй палец в нашем списке – средний.
Ответ
Средний.
Operation
Groups of object
Последо
вательн
Foto
0
0
Name
42
Тринадцать индюшат клевали зерно.
Trinadcat indyushat klevali zerno.
Object description
Сложность: 2
Классы: 6,7
Тринадцать индюшат клевали зерно. Первый индюшонок склевал 40 зёрен; второй – 60, каждый следующий – среднее арифметическое зёрен, склеванных всеми предыдущими индюшатами. Сколько зёрен склевал 10-й индюшонок?
По....
Сложность: 2
Классы: 6,7
Тринадцать индюшат клевали зерно. Первый индюшонок склевал 40 зёрен; второй – 60, каждый следующий – среднее арифметическое зёрен, склеванных всеми предыдущими индюшатами. Сколько зёрен склевал 10-й индюшонок?
Подсказка
Вспомните свойства среднего арифметического.
Решение
Третий индюшонок склевал (40 60):2 = 50 очков. Каждый следующий тоже склевал по 50 зёрен: если в группу чисел добавить число, равное среднему арифметическому этой группы, то среднее. арифметическое новой группы будет равно среднему арифметическому начальной группы.
Ответ
50 зёрен.
Operation
Groups of object
Последо
вательн
Foto
0
0
Name
43
В классе 32 ученика.
V klasse 32 uchenika.
Object description
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ....
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.
Решение
Решим более общую задачу: пусть k учеников занимаются в n кружках (из трех человек), k ≤ n. Предположим противное: каждые два кружка либо не пересекаются, либо пересекаются ровно по двум ученикам. Заметим, что если кружки K и L пересекаются с кружком M, то они пересекаются и между собой (их пересечения с M имеют общий элемент). Значит, кружки разбиваются на группы пересекающихся между собой кружков. Каждой группе кружков соответствует группа учеников – объединение их составов. Эти группы также не пересекаются. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ.
Поскольку кружков больше, чем учеников, в какой-то группе это неравенство также сохраняется. Поставим в соответствие каждой паре кружков этой группы пару учеников, каждый из которых ходит ровно в один из этих кружков. Пар кружков больше, чем пар учеников, поэтому какой-то паре учеников {a, b} соответствует по крайней мере две пары кружков {a, c, d}, {b, c, d} и {a, u, v}, {b, u, v}. Но кружки {a, c, d} и {b, u, v} не могут иметь двух общих учеников, поскольку пары {c, d} и {u, v} не совпадают. Противоречие.
Второй способ.
Если в группе, содержащей некоторый кружок {a, b, c}, есть кружки, содержащие хотя бы две из трех пар {a, b}, {a, c}, {b, c}, скажем кружок {a, b, d} и кружок {a, c, e}, то d = e (два последних кружка должны иметь двух общих членов). Единственный возможный кружок, пересекающийся с каждым из этих трех по двум элементам, – это {b, c, d}. Таким образом, в такой группе не более 4 кружков, куда ходят не менее 4 учеников.
Если же все кружки группы содержат только одну из трех указанных пар (например, {a, b}), то количество кружков в ней на 2 меньше количества всех учеников, их посещающих.
Итак, число кружков не превосходит числа учеников в классе.
Operation
Groups of object
Теория
множест
Foto
0
0
Name
44
Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках
Kazhdyj iz uchenikov klassa zanimaetsya ne bolee chem v dvuh kruzhkah
Object description
Сложность: 4-
Классы: 5,6,7
Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причем для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдется кружок, в котором занимается не менее двух тр....
Сложность: 4-
Классы: 5,6,7
Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причем для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдется кружок, в котором занимается не менее двух третей всего класса.
Решение
Если в некоторый кружок ходит весь класс, то все в порядке. Далее мы считаем, что такого кружка нет. Пусть самый многочисленный кружок – математический; его участников мы будем называть математиками. Есть ученик Вася, который в него не ходит. Рассмотрим его и одного из математиков. Они вместе ходят в другой кружок, допустим, в фото. Вася не может ходить в этот кружок вместе со всеми математиками, иначе математический кружок не будет самым многочисленным. Значит, с кем-то из математиков он ходит ещё в один кружок, например, в танцевальный. Итак, каждый математик ещё является либо фотографом, либо танцором (и никем другим). То, что было выше сказано про Васю, можно сказать и про любого ученика, который не является математиком: каждый из таких учеников – фотограф и танцор одновременно (и больше ни в какие кружки не ходит). Таким образом, кружков всего три, и каждый ученик ходит ровно в два кружка. Пусть в классе n учеников, тогда на три кружка в общей сложности приходится 2n их участников. Поэтому в математический кружок (самый многочисленный) ходит не менее, чем 2n/3 учеников.
Operation
Groups of object
Теория
множест
Foto
0
0
Name
45
Дима провёл социальный опрос и выяснил про жителей своего подъезда
Dima provel socialnyj opros i vyyasnil pro zhitelej svoego podezda
Object description
Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10
Дима провёл социальный опрос и выяснил про жителей своего подъезда, что: 25 из них играют в шахматы, 30 были в Архангельске, 28 летали на самолете.
Среди летавших на самолете 18 играют в шахматы и 17 были в Арх....
Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10
Дима провёл социальный опрос и выяснил про жителей своего подъезда, что: 25 из них играют в шахматы, 30 были в Архангельске, 28 летали на самолете.
Среди летавших на самолете 18 играют в шахматы и 17 были в Архангельске. 16 жителей играют в шахматы и были в Архангельске, притом среди них 15 еще и летали на самолете.
От управдома Дима узнал, что всего в подъезде живет 45 человек. Не врет ли управдом?
Решение
Управдом врет. Формула включения-исключения для людей, которые не были в Архангельске, не играют в шахматы, и не летали на самолете, дает 45-25-30-28 16 18 17-15=-2<0.
Ответ
Управдом врет.
Operation
Groups of object
Теория
множест
Foto
0
0
Name
46
В классе учится 23 человека.
V klasse uchitsya 23 cheloveka.
Object description
В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких пра....
В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одинаковое число раз?
(Считается, что на каждом празднике встретились каждые два гостя, а также именинник встретился со всеми гостями.)
Решение
Предъявим примеры, как такое могло произойти.
Первый пример. Выстроим учеников по кругу. Предположим, что к каждому на день рождения пришли все одноклассники, кроме следующего за ним по часовой стрелке. Тогда каждые два ученика A и B встретились на всех празднованиях, кроме двух: того, на которое не пришёл A, и того, на которое не пришёл B. Значит, каждая пара учеников встретилась 21 раз.
Второй пример. Выделим из класса двух учеников A и B. Пусть на день рождения к A пришли все одноклассники, кроме B, на день рождения к B пришёл только A, а на остальные дни рождения приходил только B. Тогда каждая пара, в которой нет B, встретилась только на дне рождения A, а все пары, содержащие B, встречались ровно по разу на остальных празднованиях. Итого, каждая пара встретилась ровно по разу.
Ответ
Могло.
Operation
Groups of object
Теория
множест
Foto
0
0
Name
47
В некотором царстве живут маги, чародеи и волшебники.
V nekotorom carstve zhivut magi, charodei i volshebniki.
Object description
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В некотором царстве живут маги, чародеи и волшебники. Про них известно следующее: во-первых, не все маги являются чародеями, во-вторых, если волшебник не является чародеем, то он не маг. Правда ли, что не все маги -- вол....
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
В некотором царстве живут маги, чародеи и волшебники. Про них известно следующее: во-первых, не все маги являются чародеями, во-вторых, если волшебник не является чародеем, то он не маг. Правда ли, что не все маги -- волшебники?
Решение
Сначала немного переформулируем условия задачи. Итак, нам известны два утверждения:
1) По крайней мере один маг не является чародеем;
2) Если маг - также и волшебник, то он является и чародеем.
Посмотрим теперь на любого мага, не являющегося чародеем (такой существует из 1-го условия). Если бы он был еще и волшебником, то по 2-му условию он был бы и чародеем, но он не чародей, значит, он и не волшебник. Следовательно, не все маги являются волшебниками.
Ответ
Да, правда.
Operation
Groups of object
Теория
множест
Foto
0
0
Name
48
У каждого из тридцати шестиклассников есть одна ручка
U kazhdogo iz tridcati shestiklassnikov est odna ruchka
Object description
Сложность: 3
Классы: 5,6
У каждого из тридцати шестиклассников есть одна ручка, один карандаш и одна линейка. После их участия в олимпиаде оказалось, что 26 учеников потеряли ручку, 23 – линейку и 21 – карандаш. Найдите наименьшее возможное количе....
Сложность: 3
Классы: 5,6
У каждого из тридцати шестиклассников есть одна ручка, один карандаш и одна линейка. После их участия в олимпиаде оказалось, что 26 учеников потеряли ручку, 23 – линейку и 21 – карандаш. Найдите наименьшее возможное количество шестиклассников, потерявших все три предмета.
Решение
Из условия следует, что у четырёх шестиклассников есть ручка, у семи – линейка и у девяти – карандаш. Таким образом, обладать хотя бы одним предметом могут не более чем 4 7 9 = 20 человек. А значит, не менее чем 30 – 20 = 10 человек потеряли все три предмета.
Все три предмета потеряют ровно 10 человек, если каждый из остальных двадцати потеряет ровно два предмета.
Ответ
10 шестиклассников.
Operation
Groups of object
Теория
множест
Foto
0
0
Name
49
В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы
V gruppe iz 50 rebyat nekotorye znayut vse bukvy
Object description
Сложность: 3-
Классы: 6,7,8
В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы, кроме "р", которую просто пропускают при письме, а остальные знают все буквы, кроме "к", которую тоже пропускают. Однажды учитель попросил 10 учеников написать слово "кот....
Сложность: 3-
Классы: 6,7,8
В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы, кроме "р", которую просто пропускают при письме, а остальные знают все буквы, кроме "к", которую тоже пропускают. Однажды учитель попросил 10 учеников написать слово "кот", 18 других учеников — слово "рот", а остальных — слово "крот". При этом слова "кот" и "рот" оказались написанными по 15 раз. Сколько ребят написали своё слово верно? Ответ обоснуйте.
Решение
Слово "крот" не написал правильно никто, потому что никто не умеет писать одновременно и букву "р" и букву "п". Слово "рот" или "кот" должны были написать 10 18 = 28 человек. Заметим, что были написаны только слова "рот", "кот" и "от". Первые два слова были написаны по 15 раз, поэтому слово "от" написали 50 – 15 – 15 = 20 ребят из 28. Значит, только 8 ребят справились со своей задачей.
Ответ
8.
Operation
Groups of object
Теория
множест
Foto
0
0
Name
50
В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов.
V sadu u Ani i Viti roslo 2006 rozovyh kustov.
Object description
Сложность: 2
Классы: 6,7,8
В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовы....
Сложность: 2
Классы: 6,7,8
В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовых кустов остались не политыми?
Решение
Витя полил 1003 куста, из них 1000 он поливал один, а три – вместе с Аней. Точно так же Аня полила 1003 куста, из них 1000 она поливала в одиночку, а три – с Витей. Значит, вместе они полили 1000 1000 3 = 2003 куста. Следовательно, остались не политыми 2006 - 2003 = 3 розовых куста.
Ответ
3 куста.
Operation
Groups of object
Теория
множест
Foto
0
0
Name
51
Фили и Кили играют в шахматы.
Fili i Kili igrayut v shahmaty.
Object description
Сложность: 2
Классы: 7,8
Фили и Кили играют в шахматы. Кроме шахматной доски у них есть одна ладья, которую они поставили в правый нижний угол, и делают ей ходы по очереди, причем ходить разрешается только вверх или влево (на любое количество к....
Сложность: 2
Классы: 7,8
Фили и Кили играют в шахматы. Кроме шахматной доски у них есть одна ладья, которую они поставили в правый нижний угол, и делают ей ходы по очереди, причем ходить разрешается только вверх или влево (на любое количество клеток). Кто не может сделать хода, тот проиграл. Кили ходит первым. Кто выиграет при правильной игре?
Решение
Выиграет тот, кто ходит вторым, то есть Фили. Для этого ему нужно после каждого хода Кили ходить так, чтобы ладья возвращалась на главную диагональ, ведущую из правого нижнего угла в левый верхний. В таком случае после каждого хода Фили ладья будет стоять на этой диагонали, причем выше, чем после предыдущего хода Фили. Это означает, что рано или поздно после хода Фили ладья окажется в левом верхнем углу, а значит, Кили будет некуда ходить.
Ответ
выиграет Фили.
Operation
Groups of object
Логика
теория
Foto
0
0
Name
52
Шифр кодового замка является двузначным числом.
Shifr kodovogo zamka yavlyaetsya dvuznachnym chislom.
Object description
Сложность: 2
Классы: 7,8
Шифр кодового замка является двузначным числом. Буратино забыл код, но помнит, что сумма цифр этого числа, сложенная с их произведением, равна самому числу. Напишите все возможные варианты кода, чтобы Буратино смог быс....
Сложность: 2
Классы: 7,8
Шифр кодового замка является двузначным числом. Буратино забыл код, но помнит, что сумма цифр этого числа, сложенная с их произведением, равна самому числу. Напишите все возможные варианты кода, чтобы Буратино смог быстрее открыть замок.
Решение
Пусть первая цифра кода x, а вторая y. Тогда само число записывается как 10x y, а условие задачи можно записать уравнением (x y) x . y = 10x y. Следовательно, x . y = 9x. Так как код — двузначное число, то x не равно 0, а значит, y = 9. При этом x можно взять любым, кроме 0. Проверьте!
Ответ
19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99.
Operation
Groups of object
Логика
теория
Foto
0
0
Name
53
В книжном шкафу
V knizhnom shkafu
Object description
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
В книжном шкафу стоят по порядку четыре тома собрания сочинений Астрид Линдгрен, по 200 страниц в каждом томе. Червячок, живущий в этом собрании прогрыз путь от первой страницы первого тома до последней страницы четверто....
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
В книжном шкафу стоят по порядку четыре тома собрания сочинений Астрид Линдгрен, по 200 страниц в каждом томе. Червячок, живущий в этом собрании прогрыз путь от первой страницы первого тома до последней страницы четвертого тома. Сколько страниц прогрыз червячок?
Подсказка
Попробуйте вспомнить, как стоят на книжной полке тома из собрания сочинений.
Решение
Обратите внимание, когда тома стоят на полке по порядку, то первая страница 1-го тома прикасается к последней странице 2-го тома, а последняя страница 4-го тома прикасается к первой странице 3-го тома. Таким образом, червячок прогрыз только 2-й и 3-й тома, т.е. 400 страниц.
Operation
Groups of object
Логика
теория
Foto
0
0
Name
54
На столе лежат в ряд четыре фигуры
Na stole lezhat v ryad chetyre figury
Object description
Сложность: 2
Классы: 5,6,7,8
На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и ромб. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, жёлтый, зелёный. Известно, что красная фигура лежит между синей и зелёной; справа от жёлтой фигуры л....
Сложность: 2
Классы: 5,6,7,8
На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и ромб. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, жёлтый, зелёный. Известно, что красная фигура лежит между синей и зелёной; справа от жёлтой фигуры лежит ромб; круг лежит правее и треугольника и ромба; треугольник лежит не с краю; синяя и жёлтая фигуры лежат не рядом. Определите, в каком порядке лежат фигуры и какого они цвета.
Подсказка
Попробуйте сначала определить, как расположены фигуры по цвету, не обращая внимание на их форму.
Решение
Для удобства изложения повторим все условия задачи:
1) красная фигура — между синей и зелёной;
2) справа от жёлтой фигуры — ромб;
3) круг — правее и треугольника и ромба;
4) треугольник — не с краю;
5) синяя и жёлтая фигуры — не рядом.
Поскольку красная фигура лежит между синей и зелёной (условие 1), а жёлтая — не рядом с синей (условие 5), то возможны только два варианта расположения фигур по цвету: "синяя, красная, зелёная, жёлтая" или "жёлтая, зелёная, красная, синяя".
Первый из приведённых вариантов неверен, поскольку по условию 2 жёлтая фигура не может лежать на правом крае.
Остаётся только одна возможность расположения фигур по цветам: "жёлтая, зелёная, красная, синяя".
Из условия 2 сразу же определяется, что ромб зелёный. Отсюда и из условия 4 следует, что треугольник красный.
В свою очередь отсюда и из условия 3 следует, что круг синий. Значит, прямоугольник может быть только жёлтым.
Окончательный ответ: жёлтый прямоугольник, зелёный ромб, красный треугольник, синий круг.
Ответ
Жёлтый прямоугольник, зелёный ромб, красный треугольник, синий круг.
Operation
Groups of object
Логика
теория
Foto
0
0
Name
55
Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок
Macheha, uezzhaya na bal, dala Zolushke meshok
Object description
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела перебрать их.
Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка: в одном было просо, в другом — мак, а в третьем — ещё не разо....
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела перебрать их.
Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка: в одном было просо, в другом — мак, а в третьем — ещё не разобранная смесь.
Чтобы не перепутать мешки, Золушка к каждому из них прикрепила по табличке: "Мак", "Просо" и "Смесь". Мачеха вернулась с бала первой и нарочно поменяла местами все таблички так, чтобы на каждом мешке оказалась неправильная надпись.
Ученик Феи успел предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на мешках не соответствует действительности.
Тогда Золушка достала только одно-единственное зёрнышко из одного мешка и, посмотрев на него, сразу догадалась, где что лежит.
Как она это сделала?
Подсказка
Подумайте, можно ли взять зёрнышко из мешка, на котором написано "Мак".
Решение
Надо взять зёрнышко из того мешка, на котором написано "Смесь". В нём не может оказаться смесь, значит, в нём лежат именно те зёрна, которые мы оттуда достанем. Пусть для определённости в этом мешке лежит мак. (Это предположение делается также и для удобства изложения; впрочем, в качестве упражнения попробуйте повторить все рассуждения для случая, когда в мешке с надписью "Смесь" лежит просо.) Итак, в мешке с надписью "Смесь" лежит мак. Это значит, что в мешке с надписью "Мак" может лежать только просо (если бы там лежала смесь, то в мешке с надписью "Просо" лежало бы просо, что невозможно). Отсюда сразу следует, что в мешке с надписью "Просо" лежит смесь.
Ответ
Надо взять зёрнышко из мешка, на котором написано "Смесь".
Operation
Groups of object
Логика
теория
Foto
0
0
Name
56
Девочка заменила каждую букву в своём имени
Devochka zamenila kazhduyu bukvu v svoem imeni
Object description
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите. Получилось число 2011533. Как её зовут?
Подсказка
Обратите внимание: первая буква имеет номер либо 2, либо 20.
Решение
Ч....
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите. Получилось число 2011533. Как её зовут?
Подсказка
Обратите внимание: первая буква имеет номер либо 2, либо 20.
Решение
Число 2011533 нужно разбить на однозначные и двузначные числа, чтобы соответствующая последовательность букв образовывала имя. Первое число не может быть 2, т.к. иначе второе число 0 или 01, чего быть не может. Значит, первое число 20, т.е. первая буква "Т". Последнее число 33, поскольку иначе два последних числа 53 и 3 или 3 и 3, но 53-й буквы в алфавите нет, а на "вв" не может кончаться имя девочки. Значит, последняя буква "я". На средние буквы осталось сочетание 115, т.е. либо 1, 1, 5, либо 11, 5, либо 1, 15. Этому соответствуют наборы букв "аад", "йд" и "ан". Отсюда видно, что девочку зовут Таня.
Ответ
Девочку зовут Таня.
Operation
Groups of object
Логика
теория
Foto
0
0
Name
57
Старый сапожник Карл
Staryj sapozhnik Karl
Object description
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Старый сапожник Карл сшил сапоги и послал своего сына Ганса на базар – продать их за 25 талеров. На базаре к мальчику подошли два инвалида (один без левой ноги, другой – без правой) и попросили продать им по сапогу. Ганс согласи....
Сложность: 2
Классы: 5,6,7
Старый сапожник Карл сшил сапоги и послал своего сына Ганса на базар – продать их за 25 талеров. На базаре к мальчику подошли два инвалида (один без левой ноги, другой – без правой) и попросили продать им по сапогу. Ганс согласился и продал каждый сапог за 12,5 талеров.
Когда мальчик пришёл домой и рассказал всё отцу, Карл решил, что инвалидам надо было продать сапоги дешевле – каждому за 10 талеров. Он дал Гансу 5 талеров и велел вернуть каждому инвалиду по 2,5 талера.
Пока мальчик искал на базаре инвалидов, он увидел, что продают сладости, не смог удержаться и истратил 3 талера на конфеты. После этого он нашёл инвалидов и отдал им оставшиеся деньги – каждому по одному талеру. Возвращаясь домой, Ганс понял, как нехорошо он поступил. Он рассказал всё отцу и попросил прощения. Сапожник сильно рассердился и наказал сына, посадив его в тёмный чулан.
Сидя в чулане, Ганс задумался. Получалось, что раз он вернул по одному талеру, то инвалиды заплатили за каждый сапог по 11,5 талеров: 12,5 – 1 = 11,5. Значит, сапоги стоили 23 талера: 2·11,5 = 23. И 3 талера Ганс истратил на конфеты, следовательно, всего получается 26 талеров: 23 3 = 26. Но ведь было-то 25 талеров! Откуда же взялся лишний талер?
Подсказка
Подумайте, сколько денег должен был получить Карл, сколько он их получил и почему.
Решение
Инвалиды заплатили за сапоги 23 талера, но Карл от них получил только 20, поскольку остальные 3 талера Ганс истратил на конфеты. Ганс, сидя в чулане, складывал доход (23 талера) с расходом (3 талера). Эта сумма не имеет никакого смысла. Другое дело, если бы он вычислил разность дохода и расхода – тогда остался бы "чистый" доход, т.е. те самые 20 талеров, которые в итоге получил Карл.
Operation
Groups of object
Логика
теория
Foto
1
0
Name
58
Среди математиков каждый седьмой — философ
Sredi matematikov kazhdyj sedmoj filosof
Object description
Сложность: 2
Классы: 6,7
Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?
Подсказка
Рассмотрите людей, являющихся математиками и философами одновременно.
....
Сложность: 2
Классы: 6,7
Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?
Подсказка
Рассмотрите людей, являющихся математиками и философами одновременно.
Решение
Обозначим через x число людей, являющихся математиками и философами одновременно. Тогда число математиков равно 7x, а число философов — 9x. Если x$ \ne$ 0, то философов больше. А что значит, что x = 0? Это значит, что ни тех, ни других нет вообще, то есть их ''поровну''. Это правильный ответ, формально удовлетворяющий условию задачи. И те, кто его указал, вдвойне молодцы! Хотя решение засчитывалось и тем, кто разобрал только случай, когда математики всё-таки есть.
Ответ
Если есть хотя бы один философ или математик, то философов больше.
Operation
Groups of object
Логика
теория
Foto
0
0
Name
59
В комнате находятся 85 воздушных шаров
V komnate nahodyatsya 85 vozdushnyh sharov
Object description
Сложность: 2
Классы: 5,6
В комнате находятся 85 воздушных шаров — красных и синих. Известно, что: 1) по крайней мере один из шаров красный, 2) из каждой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один синий. Сколько в комнате красных шаров?
....
Сложность: 2
Классы: 5,6
В комнате находятся 85 воздушных шаров — красных и синих. Известно, что: 1) по крайней мере один из шаров красный, 2) из каждой произвольно выбранной пары шаров по крайней мере один синий. Сколько в комнате красных шаров?
Подсказка
Подумайте, может ли в комнате быть два красных шара.
Решение
Поскольку среди двух любых шаров один — синий, то двух красных шаров в комнате быть не может. Значит, в комнате находятся 84 синих воздушных шара и 1 — красный.
Operation
Groups of object
Логика
теория
Foto
0
0
Name
60
В 10-этажном доме на первом этаже живет 1
V 10-etazhnom dome na pervom etazhe zhivet 1
Object description
Сложность: 2
Классы: 5
В 10-этажном доме на первом этаже живет 1 человек, на втором — 2, на третьем — 3, на четвертом — 4, ... на десятом — 10. На каком этаже лифт останавливается чаще всего?
Решение
На первом.
Сложность: 2
Классы: 5
В 10-этажном доме на первом этаже живет 1 человек, на втором — 2, на третьем — 3, на четвертом — 4, ... на десятом — 10. На каком этаже лифт останавливается чаще всего?
Решение
На первом.
Operation
Groups of object
Логика
теория
Home
About
Canvas
Contacts
Developers
Jobs
Help
Pangeya company ©
2019 - 2025
English
▼
Cancel
Continue
Confirm that you are a human
Send
Cancel
Expand
Close
Close
0
from 200
Last modified date:
Cancel
Select All
Cancel All
Cancel
Cancel
Cancel
Cancel
Down
Cancel
