Pangeya

Pangeya

You are in the mode
of Guest

View page of user Математические задачки (Math problems)

Теория множест

Логика
теория

Теория
множест

Последо
вательн

Системы
счисл

Задачи
шутки

objects 1-8 from 8 (Теория множест)

Edit the number of objects on the page

Chronological▼ Alphabetical▼ Alfavit_en▼ Author's▼

Foto

	0
	0

Name

1	В классе 32 ученика. V klasse 32 uchenika.

Object description Switch object description to full mode

Switch object description to full mode

Toggle object description to text

Toggle object description to picture

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ....

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.

Решение
Решим более общую задачу: пусть k учеников занимаются в n кружках (из трех человек), k ≤ n. Предположим противное: каждые два кружка либо не пересекаются, либо пересекаются ровно по двум ученикам. Заметим, что если кружки K и L пересекаются с кружком M, то они пересекаются и между собой (их пересечения с M имеют общий элемент). Значит, кружки разбиваются на группы пересекающихся между собой кружков. Каждой группе кружков соответствует группа учеников – объединение их составов. Эти группы также не пересекаются. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ.
Поскольку кружков больше, чем учеников, в какой-то группе это неравенство также сохраняется. Поставим в соответствие каждой паре кружков этой группы пару учеников, каждый из которых ходит ровно в один из этих кружков. Пар кружков больше, чем пар учеников, поэтому какой-то паре учеников {a, b} соответствует по крайней мере две пары кружков {a, c, d}, {b, c, d} и {a, u, v}, {b, u, v}. Но кружки {a, c, d} и {b, u, v} не могут иметь двух общих учеников, поскольку пары {c, d} и {u, v} не совпадают. Противоречие.
Второй способ.
Если в группе, содержащей некоторый кружок {a, b, c}, есть кружки, содержащие хотя бы две из трех пар {a, b}, {a, c}, {b, c}, скажем кружок {a, b, d} и кружок {a, c, e}, то d = e (два последних кружка должны иметь двух общих членов). Единственный возможный кружок, пересекающийся с каждым из этих трех по двум элементам, – это {b, c, d}. Таким образом, в такой группе не более 4 кружков, куда ходят не менее 4 учеников.
Если же все кружки группы содержат только одну из трех указанных пар (например, {a, b}), то количество кружков в ней на 2 меньше количества всех учеников, их посещающих.
Итак, число кружков не превосходит числа учеников в классе.

Operation

Groups of object

Теория
множест

Foto

	0
	0

Name

2	Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках Kazhdyj iz uchenikov klassa zanimaetsya ne bolee chem v dvuh kruzhkah

Object description Switch object description to full mode

Switch object description to full mode

Toggle object description to text

Toggle object description to picture

Сложность: 4-
Классы: 5,6,7

Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причем для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдется кружок, в котором занимается не менее двух тр....

Сложность: 4-
Классы: 5,6,7

Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причем для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдется кружок, в котором занимается не менее двух третей всего класса.

Решение
Если в некоторый кружок ходит весь класс, то все в порядке. Далее мы считаем, что такого кружка нет. Пусть самый многочисленный кружок – математический; его участников мы будем называть математиками. Есть ученик Вася, который в него не ходит. Рассмотрим его и одного из математиков. Они вместе ходят в другой кружок, допустим, в фото. Вася не может ходить в этот кружок вместе со всеми математиками, иначе математический кружок не будет самым многочисленным. Значит, с кем-то из математиков он ходит ещё в один кружок, например, в танцевальный. Итак, каждый математик ещё является либо фотографом, либо танцором (и никем другим). То, что было выше сказано про Васю, можно сказать и про любого ученика, который не является математиком: каждый из таких учеников – фотограф и танцор одновременно (и больше ни в какие кружки не ходит). Таким образом, кружков всего три, и каждый ученик ходит ровно в два кружка. Пусть в классе n учеников, тогда на три кружка в общей сложности приходится 2n их участников. Поэтому в математический кружок (самый многочисленный) ходит не менее, чем 2n/3 учеников.

Operation

Groups of object

Теория
множест

Foto

	0
	0

Name

3	Дима провёл социальный опрос и выяснил про жителей своего подъезда Dima provel socialnyj opros i vyyasnil pro zhitelej svoego podezda

Object description Switch object description to full mode

Switch object description to full mode

Toggle object description to text

Toggle object description to picture

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

Дима провёл социальный опрос и выяснил про жителей своего подъезда, что: 25 из них играют в шахматы, 30 были в Архангельске, 28 летали на самолете.
Среди летавших на самолете 18 играют в шахматы и 17 были в Арх....

Operation

Groups of object

Теория
множест

Foto

	0
	0

Name

4	В классе учится 23 человека. V klasse uchitsya 23 cheloveka.

Object description Switch object description to full mode

Switch object description to full mode

Toggle object description to text

Toggle object description to picture

В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких пра....

В классе учится 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одинаковое число раз?
(Считается, что на каждом празднике встретились каждые два гостя, а также именинник встретился со всеми гостями.)

Решение
Предъявим примеры, как такое могло произойти.
Первый пример. Выстроим учеников по кругу. Предположим, что к каждому на день рождения пришли все одноклассники, кроме следующего за ним по часовой стрелке. Тогда каждые два ученика A и B встретились на всех празднованиях, кроме двух: того, на которое не пришёл A, и того, на которое не пришёл B. Значит, каждая пара учеников встретилась 21 раз.
Второй пример. Выделим из класса двух учеников A и B. Пусть на день рождения к A пришли все одноклассники, кроме B, на день рождения к B пришёл только A, а на остальные дни рождения приходил только B. Тогда каждая пара, в которой нет B, встретилась только на дне рождения A, а все пары, содержащие B, встречались ровно по разу на остальных празднованиях. Итого, каждая пара встретилась ровно по разу.

Ответ
Могло.

Operation

Groups of object

Теория
множест

Foto

	0
	0

Name

5	В некотором царстве живут маги, чародеи и волшебники. V nekotorom carstve zhivut magi, charodei i volshebniki.

Object description Switch object description to full mode

Switch object description to full mode

Toggle object description to text

Toggle object description to picture

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

В некотором царстве живут маги, чародеи и волшебники. Про них известно следующее: во-первых, не все маги являются чародеями, во-вторых, если волшебник не является чародеем, то он не маг. Правда ли, что не все маги -- вол....

Operation

Groups of object

Теория
множест

Foto

	0
	0

Name

6	У каждого из тридцати шестиклассников есть одна ручка U kazhdogo iz tridcati shestiklassnikov est odna ruchka

Object description Switch object description to full mode

Switch object description to full mode

Toggle object description to text

Toggle object description to picture

Сложность: 3
Классы: 5,6

У каждого из тридцати шестиклассников есть одна ручка, один карандаш и одна линейка. После их участия в олимпиаде оказалось, что 26 учеников потеряли ручку, 23 – линейку и 21 – карандаш. Найдите наименьшее возможное количе....

Operation

Groups of object

Теория
множест

Foto

	0
	0

Name

7	В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы V gruppe iz 50 rebyat nekotorye znayut vse bukvy

Object description Switch object description to full mode

Switch object description to full mode

Toggle object description to text

Toggle object description to picture

Сложность: 3-
Классы: 6,7,8

В группе из 50 ребят некоторые знают все буквы, кроме "р", которую просто пропускают при письме, а остальные знают все буквы, кроме "к", которую тоже пропускают. Однажды учитель попросил 10 учеников написать слово "кот....

Operation

Groups of object

Теория
множест

Foto

	0
	0

Name

8	В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. V sadu u Ani i Viti roslo 2006 rozovyh kustov.

Object description Switch object description to full mode

Switch object description to full mode

Toggle object description to text

Toggle object description to picture

Сложность: 2
Классы: 6,7,8
В саду у Ани и Вити росло 2006 розовых кустов. Витя полил половину всех кустов, и Аня полила половину всех кустов. При этом оказалось, что ровно три куста, самые красивые, были политы и Аней, и Витей. Сколько розовы....

Operation

Groups of object

Теория
множест

Home About Canvas Contacts Developers Jobs Help

Pangeya company © 2019 - 2024

English ▼



Cancel	Continue

Confirm that you are a human

Send	Cancel

Expand				Close

			Close


0 from 200
Last modified date:
	Cancel


Select All	Cancel All

	Cancel



	Cancel



Cancel




Cancel

Up



	Cancel