1. Самопересекающийся пятиугольник ABCDE имеет форму пятиконечной звезды. Найдите сумму углов при "лучах" звезды.

2. Можно ли с сократить дробь (5n + 6)/(8n + 7) при каком-нибудь целом n, и если можно, то на какое число?

3. Имеется три сосуда....

1. Самопересекающийся пятиугольник ABCDE имеет форму пятиконечной звезды. Найдите сумму углов при "лучах" звезды.

2. Можно ли с сократить дробь (5n + 6)/(8n + 7) при каком-нибудь целом n, и если можно, то на какое число?

3. Имеется три сосуда вместимостью в 8 литров, 5 литров и 3 литра. Восьмилитровый сосуд наполнен водой. Разлить её на две части по 4 литра.

4. Верно ли, что число n^2 + n + 41 простое при любом натуральном n?

5. 28 футбольных команд участвуют в чемпионате. Сколько игр нужно сыграть, чтобы каждая команда встретилась с другой ровно один раз?

Самопересекающийся пятиугольник ABCDE имеет форму пятиконечной звезды. Найдите сумму углов при "лучах" звезды.

Самопересекающийся пятиугольник ABCDE имеет форму пятиконечной звезды. Найдите сумму углов при "лучах" звезды.

Можно ли с сократить дробь (5n + 6)/(8n + 7) при каком-нибудь целом n, и если можно, то на какое число?

Можно ли с сократить дробь (5n + 6)/(8n + 7) при каком-нибудь целом n, и если можно, то на какое число?

Имеется три сосуда вместимостью в 8 литров, 5 литров и 3 литра. Восьмилитровый сосуд наполнен водой. Разлить её на две части по 4 литра.

Имеется три сосуда вместимостью в 8 литров, 5 литров и 3 литра. Восьмилитровый сосуд наполнен водой. Разлить её на две части по 4 литра.

Верно ли, что число n^2 + n + 41 простое при любом натуральном n?

Верно ли, что число n^2 + n + 41 простое при любом натуральном n?

28 футбольных команд участвуют в чемпионате. Сколько игр нужно сыграть, чтобы каждая команда встретилась с другой ровно один раз?

28 футбольных команд участвуют в чемпионате. Сколько игр нужно сыграть, чтобы каждая команда встретилась с другой ровно один раз?

6. На сторонах выпуклого четурехугольника как на диаметрах построены круги. Докажите, что они покроют всю внутреннюю область четырехугольника.

7. Решите систему уравнений:
x_1 + x_2 + x_3 = 0
x_2 + x_3 + x_4 = 0
....................

6. На сторонах выпуклого четурехугольника как на диаметрах построены круги. Докажите, что они покроют всю внутреннюю область четырехугольника.

7. Решите систему уравнений:
x_1 + x_2 + x_3 = 0
x_2 + x_3 + x_4 = 0
.........................
x_99 + x_100 + x_1 = 0
x_100 + x_1 + x_2 = 0


8. Даны угол и точка внутри него. Построить окружность, касающуюся сторон данного угла и проходящую через данную точку.

9. На какую цифру оканчивается число {{7^}^}^7 ? (Такая запись предполагает следующий порядок возведения в степень 7^{(7^{(7^7)})} ).

10. В окружность вписан равносторонний треугольник ABC, у которого между точками A и B взята на окружности точка P. Докажите, что PA + PB=PC

На сторонах выпуклого четурехугольника как на диаметрах построены круги. Докажите, что они покроют всю внутреннюю область четырехугольника.

На сторонах выпуклого четурехугольника как на диаметрах построены круги. Докажите, что они покроют всю внутреннюю область четырехугольника.

Решите систему уравнений:
x_1 + x_2 + x_3 = 0
x_2 + x_3 + x_4 = 0
.........................
x_99 + x_100 + x_1 = 0
x_100 + x_1 + x_2 = 0

Решите систему уравнений:
x_1 + x_2 + x_3 = 0
x_2 + x_3 + x_4 = 0
.........................
x_99 + x_100 + x_1 = 0
x_100 + x_1 + x_2 = 0

Даны угол и точка внутри него. Построить окружность, касающуюся сторон данного угла и проходящую через данную точку.

Даны угол и точка внутри него. Построить окружность, касающуюся сторон данного угла и проходящую через данную точку.

На какую цифру оканчивается число {{7^}^}^7 ? (Такая запись предполагает следующий порядок возведения в степень 7^{(7^{(7^7)})} )

На какую цифру оканчивается число {{7^}^}^7 ? (Такая запись предполагает следующий порядок возведения в степень 7^{(7^{(7^7)})} )

В окружность вписан равносторонний треугольник ABC, у которого между точками A и B взята на окружности точка P. Докажите, что PA + PB=PC

В окружность вписан равносторонний треугольник ABC, у которого между точками A и B взята на окружности точка P. Докажите, что PA + PB=PC

11. Каждая сторона одного треугольника больше каждой стороны другого треугольника. Верно ли, что площадь первого обязательно больше площади второго?

12. Может ли произведение цифр целого положительного числа быть больше самого числа?

13. Нарисуйте на к....

11. Каждая сторона одного треугольника больше каждой стороны другого треугольника. Верно ли, что площадь первого обязательно больше площади второго?

12. Может ли произведение цифр целого положительного числа быть больше самого числа?

13. Нарисуйте на координатной плоскости все точки (x,y), для которых |x|-x=|y|-y

14. Докажите, что m/3 + m^2/2 + m^3/6 - целое число при любом целом m

15. Денежный автомат устроен таким образом, что на каждую опущенную монету он выдаёт не меньше трёх монет (не сказано, какого достоинства). В результате пользования автоматом у человека оказалось 12 монет. Докажите, что он воспользовался автоматом не больше 5 раз.

Каждая сторона одного треугольника больше каждой стороны другого треугольника. Верно ли, что площадь первого обязательно больше площади второго?

Каждая сторона одного треугольника больше каждой стороны другого треугольника. Верно ли, что площадь первого обязательно больше площади второго?

Может ли произведение цифр целого положительного числа быть больше самого числа?

Может ли произведение цифр целого положительного числа быть больше самого числа?

Нарисуйте на координатной плоскости все точки (x,y), для которых |x|-x=|y|-y

Нарисуйте на координатной плоскости все точки (x,y), для которых |x|-x=|y|-y

Докажите, что m/3 + m^2/2 + m^3/6 - целое число при любом целом m

Докажите, что m/3 + m^2/2 + m^3/6 - целое число при любом целом m

Денежный автомат устроен таким образом, что на каждую опущенную монету он выдаёт не меньше трёх монет (не сказано, какого достоинства). В результате пользования автоматом у человека оказалось 12 монет. Докажите, что он воспользовался автоматом не больше 5 раз.

Денежный автомат устроен таким образом, что на каждую опущенную монету он выдаёт не меньше трёх монет (не сказано, какого достоинства). В результате пользования автоматом у человека оказалось 12 монет. Докажите, что он воспользовался автоматом не больше 5 раз.

16. Найдите на гипотенузе прямоугольного треугольника такую точку, что расстояние между её проекциями на катеты минимально.

17. В строке стоят 20 целых чисел. Известно, что сумма любых трёх чисел, стоящих последовательно, больше нуля. Можно ли утверждать, что с....

16. Найдите на гипотенузе прямоугольного треугольника такую точку, что расстояние между её проекциями на катеты минимально.

17. В строке стоят 20 целых чисел. Известно, что сумма любых трёх чисел, стоящих последовательно, больше нуля. Можно ли утверждать, что сумма всех 20 чисел больше нуля?

18. В остроугольном треугольнике медиана, проведённая к стороне a, больше медианы, проведённой к стороне b. Докажите, что сторона a меньше стороны b.

19. В целом положительном числе переставили цифры и получили число, в три раза меньшее исходного. Докажите, что исходное число делилось на 27.

20. В вершинах правильного 7-угольника расставлены черные и белые фишки. Докажите, что найдутся три фишки одного цвета, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

Найдите на гипотенузе прямоугольного треугольника такую точку, что расстояние между её проекциями на катеты минимально.

Найдите на гипотенузе прямоугольного треугольника такую точку, что расстояние между её проекциями на катеты минимально.

В строке стоят 20 целых чисел. Известно, что сумма любых трёх чисел, стоящих последовательно, больше нуля. Можно ли утверждать, что сумма всех 20 чисел больше нуля?

В строке стоят 20 целых чисел. Известно, что сумма любых трёх чисел, стоящих последовательно, больше нуля. Можно ли утверждать, что сумма всех 20 чисел больше нуля?

В остроугольном треугольнике медиана, проведённая к стороне a, больше медианы, проведённой к стороне b. Докажите, что сторона a меньше стороны b.

В остроугольном треугольнике медиана, проведённая к стороне a, больше медианы, проведённой к стороне b. Докажите, что сторона a меньше стороны b.

В целом положительном числе переставили цифры и получили число, в три раза меньшее исходного. Докажите, что исходное число делилось на 27.

В целом положительном числе переставили цифры и получили число, в три раза меньшее исходного. Докажите, что исходное число делилось на 27.

В вершинах правильного 7-угольника расставлены черные и белые фишки. Докажите, что найдутся три фишки одного цвета, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

В вершинах правильного 7-угольника расставлены черные и белые фишки. Докажите, что найдутся три фишки одного цвета, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

31. Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то параллелограмм - ромб. Докажите.

32. Перемножили натуральные числа от единицы до ста. Определите, сколько нулей на конце у полученного числа.

33. Среди монет одна фальшивая (отличается по....

31. Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то параллелограмм - ромб. Докажите.

32. Перемножили натуральные числа от единицы до ста. Определите, сколько нулей на конце у полученного числа.

33. Среди монет одна фальшивая (отличается по весу от настоящих). Как с помощью двух взвешиваний на двухчашечных весах без гирь определить, легче или тяжелее фальшивая монета, если известно, что монет было
а) 100
б) 101?

34. Можно ли из куска проволоки длиной 120 см сделать, не разламывая его, каркас куба со стороной 10 см?

35. Построить замкнутую самопересекающуюся ломаную, пересекающую каждое своё звено ровно один раз. Докажите, что любая такая ломаная имеет чётное число звеньев.

Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то параллелограмм - ромб. Докажите.

Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то параллелограмм - ромб. Докажите.

Перемножили натуральные числа от единицы до ста. Определите, сколько нулей на конце у полученного числа.

Перемножили натуральные числа от единицы до ста. Определите, сколько нулей на конце у полученного числа.

Среди монет одна фальшивая (отличается по весу от настоящих). Как с помощью двух взвешиваний на двухчашечных весах без гирь определить, легче или тяжелее фальшивая монета, если известно, что монет было
а) 100
б) 101?

Среди монет одна фальшивая (отличается по весу от настоящих). Как с помощью двух взвешиваний на двухчашечных весах без гирь определить, легче или тяжелее фальшивая монета, если известно, что монет было
а) 100
б) 101?

Можно ли из куска проволоки длиной 120 см сделать, не разламывая его, каркас куба со стороной 10 см?

Можно ли из куска проволоки длиной 120 см сделать, не разламывая его, каркас куба со стороной 10 см?

Построить замкнутую самопересекающуюся ломаную, пересекающую каждое своё звено ровно один раз. Докажите, что любая такая ломаная имеет чётное число звеньев.

Построить замкнутую самопересекающуюся ломаную, пересекающую каждое своё звено ровно один раз. Докажите, что любая такая ломаная имеет чётное число звеньев.

41. Существует ли треугольник площади 1 M^2, каждая высота которого имеет длину меньше 1 см ?

42. Делится ли число 111...1 (81 единица) на 81?

43. В Колиной коллекции четыре царские золотые пятирублевки. Но ему сказали, что две из них фальшивые. Сможет....

41. Существует ли треугольник площади 1 M^2, каждая высота которого имеет длину меньше 1 см ?

42. Делится ли число 111...1 (81 единица) на 81?

43. В Колиной коллекции четыре царские золотые пятирублевки. Но ему сказали, что две из них фальшивые. Сможет ли он проверить это утверждение (то есть доказать или опровергнуть его) с помощью двух взвешиваний на обыкновенных двухчашечных весах без гирь? (Не требуется узнать, какие именно монеты фальшивые. Настоящие монеты одинаковы по весу, фальшивые тоже одинаковы по весу, но легче настоящих).

44. Может ли квадрат целого числа (записанный в десятичной системе) оканчивается цифрами ...35 ?

45.
а) Докажите, что существует число, записываемое только единицами и нулями, которое делится на 179.
б) А можно ли обойтись без нулей?

Существует ли треугольник площади 1 M^2, каждая высота которого имеет длину меньше 1 см ?

Существует ли треугольник площади 1 M^2, каждая высота которого имеет длину меньше 1 см ?

Делится ли число 111...1 (81 единица) на 81?

Делится ли число 111...1 (81 единица) на 81?

В Колиной коллекции четыре царские золотые пятирублевки. Но ему сказали, что две из них фальшивые. Сможет ли он проверить это утверждение (то есть доказать или опровергнуть его) с помощью двух взвешиваний на обыкновенных двухчашечных весах без гирь? (Не требуется узнать....

В Колиной коллекции четыре царские золотые пятирублевки. Но ему сказали, что две из них фальшивые. Сможет ли он проверить это утверждение (то есть доказать или опровергнуть его) с помощью двух взвешиваний на обыкновенных двухчашечных весах без гирь? (Не требуется узнать, какие именно монеты фальшивые. Настоящие монеты одинаковы по весу, фальшивые тоже одинаковы по весу, но легче настоящих).

Может ли квадрат целого числа (записанный в десятичной системе) оканчивается цифрами ...35 ?

Может ли квадрат целого числа (записанный в десятичной системе) оканчивается цифрами ...35 ?

а) Докажите, что существует число, записываемое только единицами и нулями, которое делится на 179.
б) А можно ли обойтись без нулей?

а) Докажите, что существует число, записываемое только единицами и нулями, которое делится на 179.
б) А можно ли обойтись без нулей?

46. Найдите V(0,99999...9) (100 девяток) (требуется найти сто верных знаков после запятой).

47. Круг разделен на 6 равных секторов, в каждом секторе стоит фишка. Одним ходом разрешается взять две фишки и переставить каждую в сектор, соседний с её сектором. Можн....

46. Найдите V(0,99999...9) (100 девяток) (требуется найти сто верных знаков после запятой).

47. Круг разделен на 6 равных секторов, в каждом секторе стоит фишка. Одним ходом разрешается взять две фишки и переставить каждую в сектор, соседний с её сектором. Можно ли за некоторое количество ходов перевести все фишки в один сектор?

48. 20 чашек расставлены по кругу. Можно ли разложить в эти чашки 99 орехов так, чтобы количество орехов в любых двух соседних чашках отличалось на единицу.

49. Построить прямую, равноудалённую от трёх данных точек. Сколько решений имеет задача?

50. В параллелограмме ABCD точка M - середина BC, точка N - середина CD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

Найдите V(0,99999...9) (100 девяток) (требуется найти сто верных знаков после запятой).

Найдите V(0,99999...9) (100 девяток) (требуется найти сто верных знаков после запятой).

Круг разделен на 6 равных секторов, в каждом секторе стоит фишка. Одним ходом разрешается взять две фишки и переставить каждую в сектор, соседний с её сектором. Можно ли за некоторое количество ходов перевести все фишки в один сектор?

Круг разделен на 6 равных секторов, в каждом секторе стоит фишка. Одним ходом разрешается взять две фишки и переставить каждую в сектор, соседний с её сектором. Можно ли за некоторое количество ходов перевести все фишки в один сектор?

20 чашек расставлены по кругу. Можно ли разложить в эти чашки 99 орехов так, чтобы количество орехов в любых двух соседних чашках отличалось на единицу.

20 чашек расставлены по кругу. Можно ли разложить в эти чашки 99 орехов так, чтобы количество орехов в любых двух соседних чашках отличалось на единицу.

Построить прямую, равноудалённую от трёх данных точек. Сколько решений имеет задача?

Построить прямую, равноудалённую от трёх данных точек. Сколько решений имеет задача?

В параллелограмме ABCD точка M - середина BC, точка N - середина CD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

В параллелограмме ABCD точка M - середина BC, точка N - середина CD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

71. Нарисуйте на координатной плоскости все точки (x,y), для которых x^2>y^2.

72. Могут ли биссектрисы двух углов треугольника быть взаимно перпендикулярными?

73. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 - простое число или единица.
....

71. Нарисуйте на координатной плоскости все точки (x,y), для которых x^2>y^2.

72. Могут ли биссектрисы двух углов треугольника быть взаимно перпендикулярными?

73. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 - простое число или единица.

74. Имеется 10 целых числе. Докажите, что можно из них выбрать несколько (т.е. ровно одно или больше), чтобы их сумма делилась на 10.

75. Есть песочные часы: одни на 7 минут, а другие на 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Можно ли отмерить это время только с помощью имеющихся песочных часов, и при этом потратить на всю процедуру 15 минут.

Нарисуйте на координатной плоскости все точки (x,y), для которых x^2 > y^2.

Нарисуйте на координатной плоскости все точки (x,y), для которых x^2 > y^2.

Могут ли биссектрисы двух углов треугольника быть взаимно перпендикулярными?

Могут ли биссектрисы двух углов треугольника быть взаимно перпендикулярными?

Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 - простое число или единица.

Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 - простое число или единица.

Имеется 10 целых чисел. Докажите, что можно из них выбрать несколько (т.е. ровно одно или больше), чтобы их сумма делилась на 10.

Имеется 10 целых чисел. Докажите, что можно из них выбрать несколько (т.е. ровно одно или больше), чтобы их сумма делилась на 10.

Есть песочные часы: одни на 7 минут, а другие на 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Можно ли отмерить это время только с помощью имеющихся песочных часов, и при этом потратить на всю процедуру 15 минут.

Есть песочные часы: одни на 7 минут, а другие на 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Можно ли отмерить это время только с помощью имеющихся песочных часов, и при этом потратить на всю процедуру 15 минут.

81. Докажите, что из 100 различных натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на 99.

82. Стекольщик заготовил набор стекол для 10 окон точно по их форме (все окна разные). Его напарник, не зная, что стекла в наборе уже нарезаны, у очередн....

81. Докажите, что из 100 различных натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на 99.

82. Стекольщик заготовил набор стекол для 10 окон точно по их форме (все окна разные). Его напарник, не зная, что стекла в наборе уже нарезаны, у очередного окна либо выбирал из набора стекло, из которого можно вырезать подходящее, вставлял стекло и шел к следующему, либо, если такого стекла не находил, оставлял окно незастекленным и шел к следующему окну. Сколько окон могло остаться незастекленными? Найдите максимальное число.

83. Из набора домино выбросили все косточки, содержащие 6. Можно ли оставшиеся косточки выложить в цепочку, следуя правилам игры?

84. Даны: деревянный шар, на котором можно делать построения циркулем и линейкой, и плоскость, на которой можно делать все обычные построения с помощью циркуля и линейки. Как построить отрезок, равный радиусу шара?

85. Докажите, что при n>1 выражение 2n-1 не является квадратом никакого целого числа.

Докажите, что из 100 различных натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на 99.

Докажите, что из 100 различных натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на 99.

Стекольщик заготовил набор стекол для 10 окон точно по их форме (все окна разные). Его напарник, не зная, что стекла в наборе уже нарезаны, у очередного окна либо выбирал из набора стекло, из которого можно вырезать подходящее, вставлял стекло и шел к следующему, либо, ....

Стекольщик заготовил набор стекол для 10 окон точно по их форме (все окна разные). Его напарник, не зная, что стекла в наборе уже нарезаны, у очередного окна либо выбирал из набора стекло, из которого можно вырезать подходящее, вставлял стекло и шел к следующему, либо, если такого стекла не находил, оставлял окно незастекленным и шел к следующему окну. Сколько окон могло остаться незастекленными? Найдите максимальное число.

Из набора домино выбросили все косточки, содержащие 6. Можно ли оставшиеся косточки выложить в цепочку, следуя правилам игры?

Из набора домино выбросили все косточки, содержащие 6. Можно ли оставшиеся косточки выложить в цепочку, следуя правилам игры?

Даны: деревянный шар, на котором можно делать построения циркулем и линейкой, и плоскость, на которой можно делать все обычные построения с помощью циркуля и линейки. Как построить отрезок, равный радиусу шара?

Даны: деревянный шар, на котором можно делать построения циркулем и линейкой, и плоскость, на которой можно делать все обычные построения с помощью циркуля и линейки. Как построить отрезок, равный радиусу шара?

Докажите, что при n > 1 выражение 2n-1 не является квадратом никакого целого числа.

Докажите, что при n > 1 выражение 2n-1 не является квадратом никакого целого числа.

На параболе у = x^2 отмечены 4 точки: A, B, C, D. прямые AB и CD пересекаются на оси у. найдите абсциссу D, если абсциссы A, B, C - a, b, c соответственно.

На параболе у = x^2 отмечены 4 точки: A, B, C, D. прямые AB и CD пересекаются на оси у. найдите абсциссу D, если абсциссы A, B, C - a, b, c соответственно.

решите уравнение:
(x + 4)^2 + x^2 + |x - 179| = 0

решите уравнение:
(x + 4)^2 + x^2 + |x - 179| = 0