ФОРМУЛИРОВКА - НАЧАЛО
Хорошая альтернатива Аксиоме Выбора - Аксиома Детерменированности.
Двое играют в игру, определим на отрезке [0;1] некоторое множество A. После этого первый игрок взял еще какой-то отрезок, второй взял какой-то отрезок, первый снова взял отрезок и т.д. При этом они договорились, что длины отрезков будут стремиться к нулю, а в их пересечении в итоге получится точка, Так вот если эта точка содержится в A, то выиграл первый игрок, иначе выиграл второй.
Задача 1.
Кто из игроков имеет выигрышную стратегию, если множестов A счетно? Опишите ее
Множество A называется нигде не плотным, если для любых различных точек a и b найдется отрезок [c, d] лежащий в [a, b], не пересекающийся с A. Например, множество точек последовательности an = [ 1/(n)] является нигде не плотным, а множество рациональных чисел – нет.
Задача 2.
Кто из игроков имеет выигрышную стратегию, если множество A нигде не плотно? Опишите ее
Задача 3.
Кто из игроков имеет выигрышную стратегию, если множество A является счетным объединением нигде не плотных множеств. Опишите ее.
ФОРМУЛИРОВКА - ОКОНЧАНИЕ
Аксиома Детерменированности - для любого множества из отрезка [0,1] найдется выигрышная стратегия для одного из двух игроков |
