Отрезком [a,b] называется множество точек x, удовлетворяющих неравенствам: a ≤ x ≤ b при условии, что a < b
Интервалом (a,b) называется множество точек x, удовлетворяющих неравенствам: a < x < b при условии, что a < b
Система отрезков [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn],... (до бесконечности) называется вложенной, если для любого натурального числа i верны неравенства: ai ≤ ai+1, bi ≥ bi+1
Аналогично определение вложенной системы интервалов.
Задачи
1) У вложенной системы отрезков всегда ai < bj (при любых натуральных i и j). Доказать.
2) Теорема: вложенная система отрезков всегда имеет хотя бы одну точку, принадлежащую всем отрезкам системы (общую точку системы). Доказать.
3) Покажите, что вложенная система интервалов не всегда имеет общую точку. |
