В Колиной коллекции четыре царские золотые пятирублевки. Но ему сказали, что две из них фальшивые. Сможет ли он проверить это утверждение (то есть доказать или опровергнуть его) с помощью двух взвешиваний на обыкновенных двухчашечных весах без гирь? (Не требуется узнать....

В Колиной коллекции четыре царские золотые пятирублевки. Но ему сказали, что две из них фальшивые. Сможет ли он проверить это утверждение (то есть доказать или опровергнуть его) с помощью двух взвешиваний на обыкновенных двухчашечных весах без гирь? (Не требуется узнать, какие именно монеты фальшивые. Настоящие монеты одинаковы по весу, фальшивые тоже одинаковы по весу, но легче настоящих).

Делится ли число 111...1 (81 единица) на 81?

Делится ли число 111...1 (81 единица) на 81?

Существует ли треугольник площади 1 M^2, каждая высота которого имеет длину меньше 1 см ?

Существует ли треугольник площади 1 M^2, каждая высота которого имеет длину меньше 1 см ?

Построить замкнутую самопересекающуюся ломаную, пересекающую каждое своё звено ровно один раз. Докажите, что любая такая ломаная имеет чётное число звеньев.

Построить замкнутую самопересекающуюся ломаную, пересекающую каждое своё звено ровно один раз. Докажите, что любая такая ломаная имеет чётное число звеньев.

Можно ли из куска проволоки длиной 120 см сделать, не разламывая его, каркас куба со стороной 10 см?

Можно ли из куска проволоки длиной 120 см сделать, не разламывая его, каркас куба со стороной 10 см?

Среди монет одна фальшивая (отличается по весу от настоящих). Как с помощью двух взвешиваний на двухчашечных весах без гирь определить, легче или тяжелее фальшивая монета, если известно, что монет было
а) 100
б) 101?

Среди монет одна фальшивая (отличается по весу от настоящих). Как с помощью двух взвешиваний на двухчашечных весах без гирь определить, легче или тяжелее фальшивая монета, если известно, что монет было
а) 100
б) 101?

Перемножили натуральные числа от единицы до ста. Определите, сколько нулей на конце у полученного числа.

Перемножили натуральные числа от единицы до ста. Определите, сколько нулей на конце у полученного числа.

Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то параллелограмм - ромб. Докажите.

Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то параллелограмм - ромб. Докажите.

В вершинах правильного 7-угольника расставлены черные и белые фишки. Докажите, что найдутся три фишки одного цвета, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

В вершинах правильного 7-угольника расставлены черные и белые фишки. Докажите, что найдутся три фишки одного цвета, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

В целом положительном числе переставили цифры и получили число, в три раза меньшее исходного. Докажите, что исходное число делилось на 27.

В целом положительном числе переставили цифры и получили число, в три раза меньшее исходного. Докажите, что исходное число делилось на 27.

В остроугольном треугольнике медиана, проведённая к стороне a, больше медианы, проведённой к стороне b. Докажите, что сторона a меньше стороны b.

В остроугольном треугольнике медиана, проведённая к стороне a, больше медианы, проведённой к стороне b. Докажите, что сторона a меньше стороны b.

В строке стоят 20 целых чисел. Известно, что сумма любых трёх чисел, стоящих последовательно, больше нуля. Можно ли утверждать, что сумма всех 20 чисел больше нуля?

В строке стоят 20 целых чисел. Известно, что сумма любых трёх чисел, стоящих последовательно, больше нуля. Можно ли утверждать, что сумма всех 20 чисел больше нуля?

Найдите на гипотенузе прямоугольного треугольника такую точку, что расстояние между её проекциями на катеты минимально.

Найдите на гипотенузе прямоугольного треугольника такую точку, что расстояние между её проекциями на катеты минимально.

Денежный автомат устроен таким образом, что на каждую опущенную монету он выдаёт не меньше трёх монет (не сказано, какого достоинства). В результате пользования автоматом у человека оказалось 12 монет. Докажите, что он воспользовался автоматом не больше 5 раз.

Денежный автомат устроен таким образом, что на каждую опущенную монету он выдаёт не меньше трёх монет (не сказано, какого достоинства). В результате пользования автоматом у человека оказалось 12 монет. Докажите, что он воспользовался автоматом не больше 5 раз.

Докажите, что m/3 + m^2/2 + m^3/6 - целое число при любом целом m

Докажите, что m/3 + m^2/2 + m^3/6 - целое число при любом целом m

Нарисуйте на координатной плоскости все точки (x,y), для которых |x|-x=|y|-y

Нарисуйте на координатной плоскости все точки (x,y), для которых |x|-x=|y|-y

Может ли произведение цифр целого положительного числа быть больше самого числа?

Может ли произведение цифр целого положительного числа быть больше самого числа?

Каждая сторона одного треугольника больше каждой стороны другого треугольника. Верно ли, что площадь первого обязательно больше площади второго?

Каждая сторона одного треугольника больше каждой стороны другого треугольника. Верно ли, что площадь первого обязательно больше площади второго?

В окружность вписан равносторонний треугольник ABC, у которого между точками A и B взята на окружности точка P. Докажите, что PA + PB=PC

В окружность вписан равносторонний треугольник ABC, у которого между точками A и B взята на окружности точка P. Докажите, что PA + PB=PC

На какую цифру оканчивается число {{7^}^}^7 ? (Такая запись предполагает следующий порядок возведения в степень 7^{(7^{(7^7)})} )

На какую цифру оканчивается число {{7^}^}^7 ? (Такая запись предполагает следующий порядок возведения в степень 7^{(7^{(7^7)})} )

Даны угол и точка внутри него. Построить окружность, касающуюся сторон данного угла и проходящую через данную точку.

Даны угол и точка внутри него. Построить окружность, касающуюся сторон данного угла и проходящую через данную точку.

Решите систему уравнений:
x_1 + x_2 + x_3 = 0
x_2 + x_3 + x_4 = 0
.........................
x_99 + x_100 + x_1 = 0
x_100 + x_1 + x_2 = 0

Решите систему уравнений:
x_1 + x_2 + x_3 = 0
x_2 + x_3 + x_4 = 0
.........................
x_99 + x_100 + x_1 = 0
x_100 + x_1 + x_2 = 0

На сторонах выпуклого четурехугольника как на диаметрах построены круги. Докажите, что они покроют всю внутреннюю область четырехугольника.

На сторонах выпуклого четурехугольника как на диаметрах построены круги. Докажите, что они покроют всю внутреннюю область четырехугольника.

28 футбольных команд участвуют в чемпионате. Сколько игр нужно сыграть, чтобы каждая команда встретилась с другой ровно один раз?

28 футбольных команд участвуют в чемпионате. Сколько игр нужно сыграть, чтобы каждая команда встретилась с другой ровно один раз?

Верно ли, что число n^2 + n + 41 простое при любом натуральном n?

Верно ли, что число n^2 + n + 41 простое при любом натуральном n?

Имеется три сосуда вместимостью в 8 литров, 5 литров и 3 литра. Восьмилитровый сосуд наполнен водой. Разлить её на две части по 4 литра.

Имеется три сосуда вместимостью в 8 литров, 5 литров и 3 литра. Восьмилитровый сосуд наполнен водой. Разлить её на две части по 4 литра.

Можно ли с сократить дробь (5n + 6)/(8n + 7) при каком-нибудь целом n, и если можно, то на какое число?

Можно ли с сократить дробь (5n + 6)/(8n + 7) при каком-нибудь целом n, и если можно, то на какое число?

Самопересекающийся пятиугольник ABCDE имеет форму пятиконечной звезды. Найдите сумму углов при "лучах" звезды.

Самопересекающийся пятиугольник ABCDE имеет форму пятиконечной звезды. Найдите сумму углов при "лучах" звезды.

81. Докажите, что из 100 различных натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на 99.

82. Стекольщик заготовил набор стекол для 10 окон точно по их форме (все окна разные). Его напарник, не зная, что стекла в наборе уже нарезаны, у очередн....

81. Докажите, что из 100 различных натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на 99.

82. Стекольщик заготовил набор стекол для 10 окон точно по их форме (все окна разные). Его напарник, не зная, что стекла в наборе уже нарезаны, у очередного окна либо выбирал из набора стекло, из которого можно вырезать подходящее, вставлял стекло и шел к следующему, либо, если такого стекла не находил, оставлял окно незастекленным и шел к следующему окну. Сколько окон могло остаться незастекленными? Найдите максимальное число.

83. Из набора домино выбросили все косточки, содержащие 6. Можно ли оставшиеся косточки выложить в цепочку, следуя правилам игры?

84. Даны: деревянный шар, на котором можно делать построения циркулем и линейкой, и плоскость, на которой можно делать все обычные построения с помощью циркуля и линейки. Как построить отрезок, равный радиусу шара?

85. Докажите, что при n>1 выражение 2n-1 не является квадратом никакого целого числа.

71. Нарисуйте на координатной плоскости все точки (x,y), для которых x^2>y^2.

72. Могут ли биссектрисы двух углов треугольника быть взаимно перпендикулярными?

73. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 - простое число или единица.
....

71. Нарисуйте на координатной плоскости все точки (x,y), для которых x^2>y^2.

72. Могут ли биссектрисы двух углов треугольника быть взаимно перпендикулярными?

73. Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 - простое число или единица.

74. Имеется 10 целых числе. Докажите, что можно из них выбрать несколько (т.е. ровно одно или больше), чтобы их сумма делилась на 10.

75. Есть песочные часы: одни на 7 минут, а другие на 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Можно ли отмерить это время только с помощью имеющихся песочных часов, и при этом потратить на всю процедуру 15 минут.

46. Найдите V(0,99999...9) (100 девяток) (требуется найти сто верных знаков после запятой).

47. Круг разделен на 6 равных секторов, в каждом секторе стоит фишка. Одним ходом разрешается взять две фишки и переставить каждую в сектор, соседний с её сектором. Можн....

46. Найдите V(0,99999...9) (100 девяток) (требуется найти сто верных знаков после запятой).

47. Круг разделен на 6 равных секторов, в каждом секторе стоит фишка. Одним ходом разрешается взять две фишки и переставить каждую в сектор, соседний с её сектором. Можно ли за некоторое количество ходов перевести все фишки в один сектор?

48. 20 чашек расставлены по кругу. Можно ли разложить в эти чашки 99 орехов так, чтобы количество орехов в любых двух соседних чашках отличалось на единицу.

49. Построить прямую, равноудалённую от трёх данных точек. Сколько решений имеет задача?

50. В параллелограмме ABCD точка M - середина BC, точка N - середина CD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

41. Существует ли треугольник площади 1 M^2, каждая высота которого имеет длину меньше 1 см ?

42. Делится ли число 111...1 (81 единица) на 81?

43. В Колиной коллекции четыре царские золотые пятирублевки. Но ему сказали, что две из них фальшивые. Сможет....

41. Существует ли треугольник площади 1 M^2, каждая высота которого имеет длину меньше 1 см ?

42. Делится ли число 111...1 (81 единица) на 81?

43. В Колиной коллекции четыре царские золотые пятирублевки. Но ему сказали, что две из них фальшивые. Сможет ли он проверить это утверждение (то есть доказать или опровергнуть его) с помощью двух взвешиваний на обыкновенных двухчашечных весах без гирь? (Не требуется узнать, какие именно монеты фальшивые. Настоящие монеты одинаковы по весу, фальшивые тоже одинаковы по весу, но легче настоящих).

44. Может ли квадрат целого числа (записанный в десятичной системе) оканчивается цифрами ...35 ?

45.
а) Докажите, что существует число, записываемое только единицами и нулями, которое делится на 179.
б) А можно ли обойтись без нулей?

31. Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то параллелограмм - ромб. Докажите.

32. Перемножили натуральные числа от единицы до ста. Определите, сколько нулей на конце у полученного числа.

33. Среди монет одна фальшивая (отличается по....

31. Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то параллелограмм - ромб. Докажите.

32. Перемножили натуральные числа от единицы до ста. Определите, сколько нулей на конце у полученного числа.

33. Среди монет одна фальшивая (отличается по весу от настоящих). Как с помощью двух взвешиваний на двухчашечных весах без гирь определить, легче или тяжелее фальшивая монета, если известно, что монет было
а) 100
б) 101?

34. Можно ли из куска проволоки длиной 120 см сделать, не разламывая его, каркас куба со стороной 10 см?

35. Построить замкнутую самопересекающуюся ломаную, пересекающую каждое своё звено ровно один раз. Докажите, что любая такая ломаная имеет чётное число звеньев.

16. Найдите на гипотенузе прямоугольного треугольника такую точку, что расстояние между её проекциями на катеты минимально.

17. В строке стоят 20 целых чисел. Известно, что сумма любых трёх чисел, стоящих последовательно, больше нуля. Можно ли утверждать, что с....

16. Найдите на гипотенузе прямоугольного треугольника такую точку, что расстояние между её проекциями на катеты минимально.

17. В строке стоят 20 целых чисел. Известно, что сумма любых трёх чисел, стоящих последовательно, больше нуля. Можно ли утверждать, что сумма всех 20 чисел больше нуля?

18. В остроугольном треугольнике медиана, проведённая к стороне a, больше медианы, проведённой к стороне b. Докажите, что сторона a меньше стороны b.

19. В целом положительном числе переставили цифры и получили число, в три раза меньшее исходного. Докажите, что исходное число делилось на 27.

20. В вершинах правильного 7-угольника расставлены черные и белые фишки. Докажите, что найдутся три фишки одного цвета, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

11. Каждая сторона одного треугольника больше каждой стороны другого треугольника. Верно ли, что площадь первого обязательно больше площади второго?

12. Может ли произведение цифр целого положительного числа быть больше самого числа?

13. Нарисуйте на к....

11. Каждая сторона одного треугольника больше каждой стороны другого треугольника. Верно ли, что площадь первого обязательно больше площади второго?

12. Может ли произведение цифр целого положительного числа быть больше самого числа?

13. Нарисуйте на координатной плоскости все точки (x,y), для которых |x|-x=|y|-y

14. Докажите, что m/3 + m^2/2 + m^3/6 - целое число при любом целом m

15. Денежный автомат устроен таким образом, что на каждую опущенную монету он выдаёт не меньше трёх монет (не сказано, какого достоинства). В результате пользования автоматом у человека оказалось 12 монет. Докажите, что он воспользовался автоматом не больше 5 раз.

6. На сторонах выпуклого четурехугольника как на диаметрах построены круги. Докажите, что они покроют всю внутреннюю область четырехугольника.

7. Решите систему уравнений:
x_1 + x_2 + x_3 = 0
x_2 + x_3 + x_4 = 0
....................

6. На сторонах выпуклого четурехугольника как на диаметрах построены круги. Докажите, что они покроют всю внутреннюю область четырехугольника.

7. Решите систему уравнений:
x_1 + x_2 + x_3 = 0
x_2 + x_3 + x_4 = 0
.........................
x_99 + x_100 + x_1 = 0
x_100 + x_1 + x_2 = 0


8. Даны угол и точка внутри него. Построить окружность, касающуюся сторон данного угла и проходящую через данную точку.

9. На какую цифру оканчивается число {{7^}^}^7 ? (Такая запись предполагает следующий порядок возведения в степень 7^{(7^{(7^7)})} ).

10. В окружность вписан равносторонний треугольник ABC, у которого между точками A и B взята на окружности точка P. Докажите, что PA + PB=PC

1. Самопересекающийся пятиугольник ABCDE имеет форму пятиконечной звезды. Найдите сумму углов при "лучах" звезды.

2. Можно ли с сократить дробь (5n + 6)/(8n + 7) при каком-нибудь целом n, и если можно, то на какое число?

3. Имеется три сосуда....

1. Самопересекающийся пятиугольник ABCDE имеет форму пятиконечной звезды. Найдите сумму углов при "лучах" звезды.

2. Можно ли с сократить дробь (5n + 6)/(8n + 7) при каком-нибудь целом n, и если можно, то на какое число?

3. Имеется три сосуда вместимостью в 8 литров, 5 литров и 3 литра. Восьмилитровый сосуд наполнен водой. Разлить её на две части по 4 литра.

4. Верно ли, что число n^2 + n + 41 простое при любом натуральном n?

5. 28 футбольных команд участвуют в чемпионате. Сколько игр нужно сыграть, чтобы каждая команда встретилась с другой ровно один раз?

10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу – синие. Разрешены две операции:
а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд;
б) перевернуть четыре фишки, расположенные так: ××0×× (× – фишка, входящая в четвёрку, 0 – не входящая).
Удастся ....

10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу – синие. Разрешены две операции:
а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд;
б) перевернуть четыре фишки, расположенные так: ××0×× (× – фишка, входящая в четвёрку, 0 – не входящая).
Удастся ли, используя несколько раз разрешённые операции, перевернуть все фишки синей стороной вверх?

По кругу расставлены числа 1,0,1,0,0,0 по часовой стрелке. Разрешается прибавить по единице любой паре соседних чисел. Можно ли с помощью такой операции сделать все числа равными?

По кругу расставлены числа 1,0,1,0,0,0 по часовой стрелке. Разрешается прибавить по единице любой паре соседних чисел. Можно ли с помощью такой операции сделать все числа равными?

Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей оказаться нечётное число фигур?

Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей оказаться нечётное число фигур?

а) Обойдите доску, изображенную на рисунке, побывав на каждой клетке ровно один раз. (Двигаться можно только на соседнюю по стороне клетку, начало и конец пути могут быть где угодно).
б) Можно ли совершить такой обход, если начало маршрута будет в самой правой клетк....

а) Обойдите доску, изображенную на рисунке, побывав на каждой клетке ровно один раз. (Двигаться можно только на соседнюю по стороне клетку, начало и конец пути могут быть где угодно).
б) Можно ли совершить такой обход, если начало маршрута будет в самой правой клетке верхней горизонтали?

Фигура "верблюд" ходит по шахматной доске ходом типа (1, 3) (то есть, она сдвигается сначала на соседнее поле, а затем сдвигается еще на три поля в перпендикулярном направлении; конь, например, ходит ходом типа (1, 2)). Можно ли пройти ходом "верблюда" с какого-то исхо....

Фигура "верблюд" ходит по шахматной доске ходом типа (1, 3) (то есть, она сдвигается сначала на соседнее поле, а затем сдвигается еще на три поля в перпендикулярном направлении; конь, например, ходит ходом типа (1, 2)). Можно ли пройти ходом "верблюда" с какого-то исходного поля на соседнее с ним?

Можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, начав с клетки a1 (левый нижний угол), закончив в клетке h8 (правый верхний угол) и на каждой клетке доски побывав ровно один раз?

Можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, начав с клетки a1 (левый нижний угол), закончив в клетке h8 (правый верхний угол) и на каждой клетке доски побывав ровно один раз?

Тридцать пять хулиганов вышли на демонстрацию с шариками и построились в колонну 5х7. По команде каждый проткнул иголкой шарик своего соседа. Какое наименьшее число целых шариков могло при этом остаться?

Тридцать пять хулиганов вышли на демонстрацию с шариками и построились в колонну 5х7. По команде каждый проткнул иголкой шарик своего соседа. Какое наименьшее число целых шариков могло при этом остаться?

В каждой клетке доски 5×5 клеток сидит жук. В некоторый момент времени каждый из жуков переполз на соседнюю по горизонтали или вертикали клетку. Обязательно ли после этого будут пустые клетки?

В каждой клетке доски 5×5 клеток сидит жук. В некоторый момент времени каждый из жуков переполз на соседнюю по горизонтали или вертикали клетку. Обязательно ли после этого будут пустые клетки?

а) Разрежьте шахматную доску на плитки размером 1х2.
б) Разрежьте шахматную доску без левой нижней и левой верхней угловых клеток на плитки 1х2.
в) Можно ли разрезать шахматную доску без левой нижней и правой верхней угловых коеток на плитки 1х2?

а) Разрежьте шахматную доску на плитки размером 1х2.
б) Разрежьте шахматную доску без левой нижней и левой верхней угловых клеток на плитки 1х2.
в) Можно ли разрезать шахматную доску без левой нижней и правой верхней угловых коеток на плитки 1х2?

Замок имеет форму прямоугольника 5×7 клеток. Каждая клетка кроме центральной — комната. А в центральной — бассейн. В каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние комнаты, есть дверь. Можно ли, не выходя из замка и не заходя в бассейн, обойти все комнаты, побы....

Замок имеет форму прямоугольника 5×7 клеток. Каждая клетка кроме центральной — комната. А в центральной — бассейн. В каждой стене (стороне клетки), разделяющей две соседние комнаты, есть дверь. Можно ли, не выходя из замка и не заходя в бассейн, обойти все комнаты, побывав в каждой ровно по одному разу?

Из шахматной доски выпилили одно поле. Может ли конь обойти все оставшиеся поля по одному разу и вернуться на исходное поле?

Из шахматной доски выпилили одно поле. Может ли конь обойти все оставшиеся поля по одному разу и вернуться на исходное поле?

Может ли конь перейти из одного угла шахматной доски в противоположный угол(по диагонали), побывав на каждой клетке ровно один раз?

Может ли конь перейти из одного угла шахматной доски в противоположный угол(по диагонали), побывав на каждой клетке ровно один раз?

На шахматной доске стоит конь. Может ли он через:
а) 4;
б) 5;
в) 2013 ходов вернуться на исходное поле?

На шахматной доске стоит конь. Может ли он через:
а) 4;
б) 5;
в) 2013 ходов вернуться на исходное поле?

По шахматной доске ползает улитка. За минуту она переползает из одной клетки на соседнюю с ней по стороне клетку. Спустя некоторое время улитка приползла вновь в ту клетку, где была первоначально. Докажите, что это произошло через чётное число минут.

По шахматной доске ползает улитка. За минуту она переползает из одной клетки на соседнюю с ней по стороне клетку. Спустя некоторое время улитка приползла вновь в ту клетку, где была первоначально. Докажите, что это произошло через чётное число минут.