Теорема: множество всех действительных чисел несчетно.
Начало доказательства: допустим, что множество действительных чисел отрезка [0;1] счетно. Тогда все эти числа можно занумеровать натуральными числами: a1, a2, ... аn, ... Покроем каждую точку ai интервалом Gi длины 10^-i
Задача 1
Доказать, что при любом n объединение G1 U G2 U ... U Gn не покрывает отрезка [0;1]
Выберем какую-нибудь точку, не покрытую этими интервалами, и обозначим ее через Bn
Задача 2
Доказать, что найдется точка, предельная для множества точек Bn (обозначим эту точку через С)
Задача 3
Найдите противоречие в том факте, что точка С покрыта некоторым интервалом Gk.
Это противоречие доказывает, что множество точек отрезка не может быть счетным.
|
|
|
|
