Грани правильного тетраэдра (треугольной пирамиды) закрашены четырьмя красками (на каждую грань - одна краска). Сколько существует способов закраски? (Два тетраэдра считаются одинаково закрашенными, если их можно так расположить в пространстве, что они со всех сторон вы....

Грани правильного тетраэдра (треугольной пирамиды) закрашены четырьмя красками (на каждую грань - одна краска). Сколько существует способов закраски? (Два тетраэдра считаются одинаково закрашенными, если их можно так расположить в пространстве, что они со всех сторон выглядят одинаково)

Докажите, что если целое число закачивается цифрой 5, то квадрат этого числа всегда заканчивается на 25.

Докажите, что если целое число закачивается цифрой 5, то квадрат этого числа всегда заканчивается на 25.

Внутри выпуклого пятиугольника ABCDE взята точка M, не лежащая на диагоналях пятиугольника. У каждой вершины пятиугольника имеется ровно одна противоположная сторона (чтобы дойти от этой вершины до этой стороны по пятиугольнику требуется пройти через две вершины пятиуго....

Внутри выпуклого пятиугольника ABCDE взята точка M, не лежащая на диагоналях пятиугольника. У каждой вершины пятиугольника имеется ровно одна противоположная сторона (чтобы дойти от этой вершины до этой стороны по пятиугольнику требуется пройти через две вершины пятиугольника). Назовем вершину пятиугольника "выделенной", если прямая, проведенная из этой вершины через точку M, пересекает сторону, противоположную этой вершине. Докажите, что число выделенных вершин всегда нечетно.

Имеется два пятилитровых сосуда. В первом 2 кг чистой воды, во втором - 2 кг двухпроцентного раствора поваренной соли (это значит 2 г соли на 100 г раствора). Разрешается сколько угодно раз переливать содержимое сосудов из одного сосуда в другой полностью или частично. ....

Имеется два пятилитровых сосуда. В первом 2 кг чистой воды, во втором - 2 кг двухпроцентного раствора поваренной соли (это значит 2 г соли на 100 г раствора). Разрешается сколько угодно раз переливать содержимое сосудов из одного сосуда в другой полностью или частично. Можно ли добиться того, чтобы в первом сосуде оказался полуторапроцентный раствор соли?

К одному человеку пришли в гости 10 приятелей. Они разулись в коридоре, а уходили по одному. В коридоре было темно, и каждый надевал пару обуви, какую смог, и уходил. При этом некоторым не удалось обуться. Каково максимально возможное число таких неудачников? (Укажите в....

К одному человеку пришли в гости 10 приятелей. Они разулись в коридоре, а уходили по одному. В коридоре было темно, и каждый надевал пару обуви, какую смог, и уходил. При этом некоторым не удалось обуться. Каково максимально возможное число таких неудачников? (Укажите возможное число неудачников и докажите, что больше быть не может; примечание: пары не путаются)

Найдите все такие простые числа p, что числа p-2 и p+2 тоже простые.

Найдите все такие простые числа p, что числа p-2 и p+2 тоже простые.

15 ребят собрали всего 100 орехов. Докажите, что какие-то двое из них собрали орехов поровну.

15 ребят собрали всего 100 орехов. Докажите, что какие-то двое из них собрали орехов поровну.

На плоскости проведено конечное число прямых. Можно ли раскрасить куски, на которые разбивается плоскость, двумя красками так, чтобы любые два соседних куска (граничащие по отрезку прямой) были окрашены в разные цвета?

На плоскости проведено конечное число прямых. Можно ли раскрасить куски, на которые разбивается плоскость, двумя красками так, чтобы любые два соседних куска (граничащие по отрезку прямой) были окрашены в разные цвета?

а) Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8 ладей, из которых 4 черных и 4 белых, так, чтобы никакие ладьи не били друг друга? (Ладьи одного цвета не различаются между собой, но черные от белых отличаются)
б) Та же задача, но черных ладей 5, а белых ....

а) Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8 ладей, из которых 4 черных и 4 белых, так, чтобы никакие ладьи не били друг друга? (Ладьи одного цвета не различаются между собой, но черные от белых отличаются)
б) Та же задача, но черных ладей 5, а белых 3