Подстановка среднего арифметического и доказательство о не существовании корней x^5 + (x − 2)^5 = 32

Подстановка среднего арифметического и доказательство о не существовании корней x^5 + (x − 2)^5 = 32

Подстановка среднего арифметического
(x + 1)^4 + (x + 3)^4 = 16

Подстановка среднего арифметического
(x + 1)^4 + (x + 3)^4 = 16

Использование Бинома Ньютона
1) (x + 2)^3 + x^2 = 28
2) x^4 + (x − 1)^4 = 17

Использование Бинома Ньютона
1) (x + 2)^3 + x^2 = 28
2) x^4 + (x − 1)^4 = 17

Уравнения с иррациональными коэффициентами
2t^3 − 3√3t^2 + 3√3 = 0

Уравнения с иррациональными коэффициентами
2t^3 − 3√3t^2 + 3√3 = 0

Тригонометрическая подстановка: сколько корней имеет уравнение на отрезке по x: [0;1]
8x(1 − 2x^2)(8x^4 − 8x^2 + 1) = 1

Тригонометрическая подстановка: сколько корней имеет уравнение на отрезке по x: [0;1]
8x(1 − 2x^2)(8x^4 − 8x^2 + 1) = 1

Нахождение иррациональных корней с допущениями
3x^3 + 5x^2 − 9x − 2 = 0

Нахождение иррациональных корней с допущениями
3x^3 + 5x^2 − 9x − 2 = 0

Сворачивание биномиальных формул
x^5 − 35x^4 + 490x^3 − 3430x^2 + 12005x − 16807 = 0

Сворачивание биномиальных формул
x^5 − 35x^4 + 490x^3 − 3430x^2 + 12005x − 16807 = 0

Неполная замена аргументов
(x^2 − x + 1)^4 − 6x^2(x^2 − x + 1)^2 + 5x^4 = 0

Неполная замена аргументов
(x^2 − x + 1)^4 − 6x^2(x^2 − x + 1)^2 + 5x^4 = 0

Уравнение с параметрами
x^4 − 3x^2 + 2(a − 1)x + 2a − a^2 = 0

Уравнение с параметрами
x^4 − 3x^2 + 2(a − 1)x + 2a − a^2 = 0

Сдвиг оси
(6x 5)^2(3x + 2)(x + 1) = 35

Сдвиг оси
(6x 5)^2(3x + 2)(x + 1) = 35

Замена
1) (x^2 − 6x)^2 − 2(x − 3)^2 = 81
2) (x^2 − 2x)^2 − 3x^2 + 6x − 4 = 0
3) (2x^2 + 3x − 1)^2 − 10x^2 − 15x + 9 = 0
4) (x^2 − 3x)^2 − 14x^2 + 42x + 40 = 0

Замена
1) (x^2 − 6x)^2 − 2(x − 3)^2 = 81
2) (x^2 − 2x)^2 − 3x^2 + 6x − 4 = 0
3) (2x^2 + 3x − 1)^2 − 10x^2 − 15x + 9 = 0
4) (x^2 − 3x)^2 − 14x^2 + 42x + 40 = 0

Обобщённая Теорема Виетта

Обобщённая Теорема Виетта

Деление на x^2
1) (2x^2 − 3x + 1)(2x^2 + 5x + 1) = 9x^2
2) (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x^2

Деление на x^2
1) (2x^2 − 3x + 1)(2x^2 + 5x + 1) = 9x^2
2) (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x^2

Схема Горнера [нахождение остатка от деления многочлена P(x) на (x-a) без самого деления)]
x^3 − 3x − 2 = 0

Схема Горнера [нахождение остатка от деления многочлена P(x) на (x-a) без самого деления)]
x^3 − 3x − 2 = 0

Рациональные корни многочлена

Формулировка
В многочлене вида A_nx^n + A_n−1x^n−1 + ... + A_1x^1 + A_0 = 0, A_n! = 0 Рациональные корни следует искать только среди чисел вида или - B_0/B_n, где B_0 - делитель A_0 и B_n - делитель A_n....

Рациональные корни многочлена

Формулировка
В многочлене вида A_nx^n + A_n−1x^n−1 + ... + A_1x^1 + A_0 = 0, A_n! = 0 Рациональные корни следует искать только среди чисел вида или - B_0/B_n, где B_0 - делитель A_0 и B_n - делитель A_n

Доказательство

Лемма 1
Если приведенное уравнение x^n + k_n−1x^n−1 + ... + k_1x^1 + k_0 = 0 имеет целый корень, то он обязательно будет делителем свободного члена k_n

Лемма 2
Приведенное уравнение x^n + k_n−1x^n−1 + ... + k_1x^1 + k_0 = 0 не может иметь ни одного дробного корня.

Задача 1
Найти рациональные корни многочленов
1) 2x^3 − 7x^2 + 5x − 1 = 0
2) x^3 − 3x − 2 = 0

Задача 2
Решить уравнения УГОЛКОМ
1) x^4 − 27x^2 − 14x + 120 = 0
2) x^4 − 5x^3 + 10x^2 − 10x + 4 = 0
3) x^4 − 4x^2 + 6x − 4 = 0

Теорема Безу и деление в столбик многочленов
Формулировка:
При делении многочлена n-ой степени относительно x, расположенного по убывающим степени x, на двучлен (x-a) остаток от деления равен значению делимого при x=a Доказательство:
Поделим многочлен P(x....

Теорема Безу и деление в столбик многочленов
Формулировка:
При делении многочлена n-ой степени относительно x, расположенного по убывающим степени x, на двучлен (x-a) остаток от деления равен значению делимого при x=a Доказательство:
Поделим многочлен P(x) на (x-a), получим P(x)=(x-a)Q(x) R(x), но R(x) имеет степень меньше многочлена (x-a) в силу того, что R(x) - остаток.(иначе кусок R(x) можно было бы включить в Q(x).
А значит R(x) -просто число. Подставляем x=a в формулу P(x)=(x-a)Q(x) R(x), получаем P(a)=(a-a)Q(x) R=R, теорема доказана
Задача 1

Найти остаток от деления x^3 + 5x^2 − 6x − 6 = 0 на двучлен (x-2)
а) уголком
б) по теореме Безу
Следствия из теоремы Безу
I. Если многочлен делится без остатка на (x-a), то a-корень этого многочлена
II. Если a-корень многочлена, то он обязательно делится без остатка на (x-a)
Задача 2

Используя Следствие II из теоремы Безу решить следующие задачи (разложить на множители) ИЗ ПЕРВОГО ЛИСТКА
1) (x^2
2xy
y^2)
2) (x^2 − 2xy
y^2)
3) (x^2 − y^2)
4) (x^3 − y^3)
5) (x^3 + y^3)
6) (x^5 − y^5) 7) (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3)

Однородные уравнения

Однородные уравнения - это уравнения, все члены которых имеют одинаковую степень,а справа 0.
Уравнение вида Au^2 + Buv + Cv^2 = 0 называется однородным уравнением II-ой степени относительно U и V.
Проверяем возможность д....

Однородные уравнения

Однородные уравнения - это уравнения, все члены которых имеют одинаковую степень,а справа 0.
Уравнение вида Au^2 + Buv + Cv^2 = 0 называется однородным уравнением II-ой степени относительно U и V.
Проверяем возможность деления на U и V.
Делим на U^2(V^2)
AU^2 + BUV + CV^2 = 0 делим на U^2(U! = 0), получаем
A + BV/U + CV^2/U^2 = 0
Пусть V/U = y, тогда V^2/U^2 = y^2, получаем ур-ие:
A + By + Cy^2 = 0
Обратная замена
Задачи на однородные уравнения
1) (x^2 − x + 1)^4 − 10x^2(x^2 − x + 1)^2 + 9x^4 = 0
2) 2(x − 1)^4 − 5(x^2 − 3x + 2)^2 + 2(x − 2)^4 = 0

Возвратные уравнения 4-ой степени
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0
если e/a = ( d/b)^2, то делим уравнение на x^2 и делаем замену
1) x^4 − 7x^3 + 14x^2 − 7x + 1 = 0
2) 18x^4 − 3x^3 − 25x^2 + 2x + 8 = 0

Возвратные уравнения 4-ой степени
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0
если e/a = ( d/b)^2, то делим уравнение на x^2 и делаем замену
1) x^4 − 7x^3 + 14x^2 − 7x + 1 = 0
2) 18x^4 − 3x^3 − 25x^2 + 2x + 8 = 0

Разбиение отдельных членов на слагаемые (как буквенных,так и числовых)
1) x^3 + 1991x + 1992 = 0
2) x^3 − 3x^2 + 2 = 0
3) x^4 − x^3 − 13x^2 + x + 12 = 0
4) x^3 + 4x^2 − 5 = 0
5) x^4 − x^3 − 7x^2 + x + 6 =....

Разбиение отдельных членов на слагаемые (как буквенных,так и числовых)
1) x^3 + 1991x + 1992 = 0
2) x^3 − 3x^2 + 2 = 0
3) x^4 − x^3 − 13x^2 + x + 12 = 0
4) x^3 + 4x^2 − 5 = 0
5) x^4 − x^3 − 7x^2 + x + 6 = 0

Биквадратные уравнения
1) 25x^4 + 66x^2 − 27 = 0
2) x^6 + 9x^3 + 8 = 0

Биквадратные уравнения
1) 25x^4 + 66x^2 − 27 = 0
2) x^6 + 9x^3 + 8 = 0

Перемножалка
1) (x^2 − 3x)(x − 1)(x − 2) = 24
2) (x^2 − 5x)(x + 3)(x − 8) + 108 = 0
3) (x + 4)^2(x + 10)(x − 2) + 243 = 0
4) x(x + 3)(x + 5)(x + 8) + 56 = 0
5) (x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6) = 1680 ....

Перемножалка
1) (x^2 − 3x)(x − 1)(x − 2) = 24
2) (x^2 − 5x)(x + 3)(x − 8) + 108 = 0
3) (x + 4)^2(x + 10)(x − 2) + 243 = 0
4) x(x + 3)(x + 5)(x + 8) + 56 = 0
5) (x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6) = 1680
6) (x − 2)(x − 3)^2(x − 4) = 20
7) (x − 4)(x − 3)(x − 2)(x − 1) = 24

Разложение на множители квадратных трёхчленов
1) (x^2 + 4x)(x^2 + x - 6)=(x^3 - 9x)(x^2 + 2x - 8)
2) (x^2 + 5x)(x^2 - 3x - 28)=(x^3 - 16x)(x^2 - 2x - 35)

Разложение на множители квадратных трёхчленов
1) (x^2 + 4x)(x^2 + x - 6)=(x^3 - 9x)(x^2 + 2x - 8)
2) (x^2 + 5x)(x^2 - 3x - 28)=(x^3 - 16x)(x^2 - 2x - 35)

Сворачивание кубов
1) 28x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0
2) 126x^3 − 3x^2 + 3x − 1 = 0

Сворачивание кубов
1) 28x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0
2) 126x^3 − 3x^2 + 3x − 1 = 0

Раскрытие квадратов
(x + 1)^2(x + 2) + (x − 1)^2(x − 2) = 12

Раскрытие квадратов
(x + 1)^2(x + 2) + (x − 1)^2(x − 2) = 12

Группировка
1) x^3 + x^2 − 4x − 4 = 0
2) 3x^3 + 5x^2 + 5x 3 = 0
3) x^4 + 2x^3 − x − 2 = 0
4) x^3 − x^2 − 81x + 81 = 0
5) x^3 + 3x^2 − 16x − 48 = 0
6) 2x^4 3x^3 + 16x + 24 = 0
7) 24x^4 ....

Группировка
1) x^3 + x^2 − 4x − 4 = 0
2) 3x^3 + 5x^2 + 5x 3 = 0
3) x^4 + 2x^3 − x − 2 = 0
4) x^3 − x^2 − 81x + 81 = 0
5) x^3 + 3x^2 − 16x − 48 = 0
6) 2x^4 3x^3 + 16x + 24 = 0
7) 24x^4 + 16x^3 − 3x − 2 = 0
8) x^3 + 5x^2 + 15x + 27 = 0
9) 8x^3 − 6x^2 + 3x − 1 = 0

ЗАМЕЧАНИЕ: Нельзя разложить на множители выражения следующего вида
1) a + b
2) a − b
3) a^2 + b^2 (сумму квадратов и вообще сумму чётных степеней)
4) a^2 + ab b^2 (неполный квадрат суммы)
5) a^2 − ab + b^2 (неполный....

ЗАМЕЧАНИЕ: Нельзя разложить на множители выражения следующего вида
1) a + b
2) a − b
3) a^2 + b^2 (сумму квадратов и вообще сумму чётных степеней)
4) a^2 + ab b^2 (неполный квадрат суммы)
5) a^2 − ab + b^2 (неполный квадрат разности)
6) a^2 + b^3

1) Подсчитайте корень из 1156
2) Подсчитайте корень из двух до 4-ого знака после запятой.
3) Решите квадратное уравнение 56 ∗ x^2 + 138 ∗ x + 27 = 0.
4) (*) Обосновать алгоритм извлечения квадратного корня в столбик.

1) Подсчитайте корень из 1156
2) Подсчитайте корень из двух до 4-ого знака после запятой.
3) Решите квадратное уравнение 56 ∗ x^2 + 138 ∗ x + 27 = 0.
4) (*) Обосновать алгоритм извлечения квадратного корня в столбик.

Найдите квадраты следующих чисел 15,25,35,45,55,65,75,85,95
Посмотрите на результаты, поймите закономерность, позволяющую вычислять эти квадраты быстрее, чем в столбик

Найдите квадраты следующих чисел 15,25,35,45,55,65,75,85,95
Посмотрите на результаты, поймите закономерность, позволяющую вычислять эти квадраты быстрее, чем в столбик

1) 25 ∗ x^4 − 109 ∗ x^2 + 36 = 0
2) x^4 + 5 ∗ x^2 + 6 = 0

1) 25 ∗ x^4 − 109 ∗ x^2 + 36 = 0
2) x^4 + 5 ∗ x^2 + 6 = 0

а) Задача про забор: Вы отгораживаете себе на берегу реки участок прямоугольной формы забором. При этом забор идёт только с 3-х сторон участка (со стороны реки забора нет). У Вас есть забор длины 100 метров. Как отгородить участок наибольшей площади?
б) Доказать,....

а) Задача про забор: Вы отгораживаете себе на берегу реки участок прямоугольной формы забором. При этом забор идёт только с 3-х сторон участка (со стороны реки забора нет). У Вас есть забор длины 100 метров. Как отгородить участок наибольшей площади?
б) Доказать, что при x = − b/2∗a достигается экстремум квадратного трёхчлена
в) Число 14 требуется разбить на три части так, чтобы вторая часть была вдвое больше первой и чтобы сумма квадратов всех трёх частей имела наименьшее значение.
г) Разделить данное число 18 на два слагаемых так, чтобы их произведение оказалось наибольшим.