Pangeya

System properties 77 Number of open properties

User properties 6 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

2	ОГЭ МАТ ТРЕН 20 OGE MAT TREN 20

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

3	ОГЭ МАТ ТРЕН 19 OGE MAT TREN 19

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

4	ОГЭ МАТ ТРЕН 18 OGE MAT TREN 18

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

5	ОГЭ МАТ ТРЕН 17 OGE MAT TREN 17

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

6	ОГЭ МАТ ТРЕН 16 OGE MAT TREN 16

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

7	ОГЭ МАТ ТРЕН 15 OGE MAT TREN 15

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

8	ОГЭ МАТ ТРЕН 14 OGE MAT TREN 14

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

9	ОГЭ МАТ ТРЕН 13 OGE MAT TREN 13

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

10	ОГЭ МАТ ТРЕН 12 OGE MAT TREN 12

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

11	ОГЭ МАТ ТРЕН 11 OGE MAT TREN 11

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

12	ОГЭ МАТ ТРЕН 10 OGE MAT TREN 10

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

13	ОГЭ МАТ ТРЕН 09 OGE MAT TREN 09

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

14	ОГЭ МАТ ТРЕН 08 OGE MAT TREN 08

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

15	ОГЭ МАТ ТРЕН 07 OGE MAT TREN 07

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

16	ОГЭ МАТ ТРЕН 06 OGE MAT TREN 06

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

17	ОГЭ МАТ ТРЕН 05 OGE MAT TREN 05

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

18	ОГЭ МАТ ТРЕН 04 OGE MAT TREN 04

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

19	ОГЭ МАТ ТРЕН 03 OGE MAT TREN 03

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

20	ОГЭ МАТ ТРЕН 02 OGE MAT TREN 02

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

21	ОГЭ МАТ ТРЕН 01 OGE MAT TREN 01

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 77 Number of open properties

User properties 51 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

22	ОГЭ МАТ ПРОБНИК3 OGE MAT PROBNIK3

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 80 Number of open properties

User properties 53 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

23	ОГЭ МАТ ПРОБНИК2 OGE MAT PROBNIK2

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 80 Number of open properties

User properties 53 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

24	ОГЭ МАТ ПРОБНИК1 OGE MAT PROBNIK1

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 80 Number of open properties

User properties 53 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

25	ОГЭ МАТ ДЕМО OGE MAT DEMO

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 80 Number of open properties

User properties 53 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

26	elem_algebra_001_015 Применение формул сокращенного умножения elem_algebra_001_015 Primenenie formul sokrashennogo umnozheniya

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 18 Number of open properties

User properties 90 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

27	STRUCTURA STRUCTURA

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 2 Number of open properties

User properties 7 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

28	elem_algebra_003_017 (СХЕМА Решения квадратных уравнений) elem_algebra_003_017 (SHEMA Resheniya kvadratnyh uravnenij)

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 2 Number of open properties

User properties 8 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

29	Абсолютное шифрование, Шифр Вернама, одноразовые блокноты, kriptography Absolute encryption, Vernam cipher, disposable pads, kriptography

Object description Switch object description to full mode

шифр вернама - это и есть одноразовые блокноты

Шенноном было доказано, что примером абсолютно стойкого алгоритма является шифр Вернама (одноразовый блокнот). Иными словами, корректное использование шифра....

шифр вернама - это и есть одноразовые блокноты

Шенноном было доказано, что примером абсолютно стойкого алгоритма является шифр Вернама (одноразовый блокнот). Иными словами, корректное использование шифра Вернама не даёт злоумышленнику никакой информации об открытом тексте (любой бит сообщения он может лишь угадать с вероятностью 1/2)

Абсолютное шифрование (одноразовые блокноты)

Наглядная демонстрация алгоритма АБСОЛЮТНОГО ШИФРОВАНИЯ (еще известного как ОДНОРАЗОВЫЕ БЛОКНОТЫ). Единственный из всех известных алгоритмов шифрования, который не поддается дешифрации вообще никогда. То есть при условии тайного обмена ключами - дешифрация третьим лицом невозможна.

МИНУСЫ алгоритма

1)размер ключа должен всегда соответствовать размеру зашифрованного сообщения.

2)ключи должны быть одноразовыми (нужно использовать всегда новый ключ для нового сообщения)

3)обмен ключами должен быть произведен по отдельному каналу связи, лучше вообще из рук в руки в парке на скамейке

4)шифрование симметричное, то есть один и тот же ключ используется как для шифрации, так и для дешифрации сообщения - поэтому нельзя использовать для большинства задач интернета

5)ключи должны генерироваться не просто алгоритмом рандома, но и с добавлением полностью непредсказуемой случайности (случайное блуждание человеком мышки по экрану)

ПЛЮСЫ алгоритма

1)100% безопасность

2)чрезвычайная простота в понимании

Operation

Groups of object

PORTFOL
IO

QUICK
START

System properties 56 Number of open properties

User properties 71 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

30	elem_algebra_003_015 (Алгоритм извлечения квадратного корня) elem_algebra_003_015 (Algoritm izvlecheniya kvadratnogo kornya)

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 10 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

31	elem_algebra_001_014 (ЗАМЕЧАНИЕ: Нельзя разложить на множители выражения следующего вида) elem_algebra_001_014 (ZAMEChANIE: Nelzya razlozhit na mnozhiteli vyrazheniya sleduyushego vida)

Object description Switch object description to full mode

ЗАМЕЧАНИЕ: Нельзя разложить на множители выражения следующего вида
1) a + b
2) a − b
3) a^2 + b^2 (сумму квадратов и вообще сумму чётных степеней)
4) a^2 + ab b^2 (неполный квадрат суммы)
5) a^2 − ab + b^2 (неполный....

Operation

Groups of object

System properties 2 Number of open properties

User properties 12 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

32	elem_algebra_003_016 (Извлечение квадратного корня в столбик) elem_algebra_003_016 (Izvlechenie kvadratnogo kornya v stolbik)

Object description Switch object description to full mode

1) Подсчитайте корень из 1156
2) Подсчитайте корень из двух до 4-ого знака после запятой.
3) Решите квадратное уравнение 56 ∗ x^2 + 138 ∗ x + 27 = 0.
4) (*) Обосновать алгоритм извлечения квадратного корня в столбик.

Operation

Groups of object

System properties 8 Number of open properties

User properties 18 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

33	elem_algebra_003_014 (Плюс 5 пунктов к Вашему устному счёту) elem_algebra_003_014 (Plyus 5 punktov k Vashemu ustnomu schetu)

Object description Switch object description to full mode

Найдите квадраты следующих чисел 15,25,35,45,55,65,75,85,95
Посмотрите на результаты, поймите закономерность, позволяющую вычислять эти квадраты быстрее, чем в столбик

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 12 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

34	elem_algebra_003_013 (Биквадратные уравнения) elem_algebra_003_013 (Bikvadratnye uravneniya)

Object description Switch object description to full mode

1) 25 ∗ x^4 − 109 ∗ x^2 + 36 = 0
2) x^4 + 5 ∗ x^2 + 6 = 0

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 12 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

35	elem_algebra_003_012 (Экстремальные свойства квадратного уравнения) elem_algebra_003_012 (Ekstremalnye svojstva kvadratnogo uravneniya)

Object description Switch object description to full mode

а) Задача про забор: Вы отгораживаете себе на берегу реки участок прямоугольной формы забором. При этом забор идёт только с 3-х сторон участка (со стороны реки забора нет). У Вас есть забор длины 100 метров. Как отгородить участок наибольшей площади?
б) Доказать,....

Operation

Groups of object

System properties 5 Number of open properties

User properties 16 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

36	elem_algebra_003_011 (Задачи на решение квадратных уравнений через теорему о сумме коэффициентов) elem_algebra_003_011 (Zadachi na reshenie kvadratnyh uravnenij cherez teoremu o summe koefficientov)

Object description Switch object description to full mode

1) 3 ∗ x^2 − 2 ∗ x − 1 = 0
2) 5 ∗ x^2 + 2 ∗ x + 7 = 0
3) x^2 − 10 ∗ x + 9 = 0

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 16 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

37	elem_algebra_003_010 ((!!!) Доказать теорему о сумме коэффициентов) elem_algebra_003_010 ((!!!) Dokazat teoremu o summe koefficientov)

Object description Switch object description to full mode

Если сумма коэффициентов квадратного уравнения a ∗ x^2 + b ∗ x + c = 0 равна нулю, т.е. a + b + c = 0, то один из корней равен 1, а другой c/a

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 12 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

38	elem_algebra_003_009 (Задачи на решение квадратных уравнений через Теорему Виетта) elem_algebra_003_009 (Zadachi na reshenie kvadratnyh uravnenij cherez Teoremu Vietta)

Object description Switch object description to full mode

Теорема Виетта позволяет угадывать корни квадратного уравнения, не решая само уравнение
1) x^2 − 2 ∗ x − 15 = 0
2) x^2 − 5 ∗ x + 6 = 0
3) x^2 + 6 ∗ x − 91 = 0
4) x^2 − x − 56 = 0
5) 2 ∗ x 2 + 2 ∗ x − 3 = 0
Не решая уравне....

Operation

Groups of object

System properties 5 Number of open properties

User properties 16 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

39	elem_algebra_003_008 ((!!!) Теорема Виетта) elem_algebra_003_008 ((!!!) Teorema Vietta)

Object description Switch object description to full mode

Пользуясь результатом предыдущей задачи, покажите, что если нам известны корни x_1 , x_2 квадратного уравнения a ∗ x^2 + b ∗ x + c = 0, то
c/a = x_1 ∗ x_2 b/a = −(x_1 + x_2 )

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 12 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

40	elem_algebra_003_007 ((!!!) Разложение квадратного уравнения на множители) elem_algebra_003_007 ((!!!) Razlozhenie kvadratnogo uravneniya na mnozhiteli)

Object description Switch object description to full mode

Докажите, что если квадратное уравнение a ∗ x^2 + b ∗ x + c = 0 имеет корни x_1 , x_2 , то верно разложение
a ∗ x^2 + b ∗ x + c = a(x − x_1 )(x − x_2 )

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 12 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

41	elem_algebra_003_006 (Задачи на решение квадратных уравнений через половинный дискриминант) elem_algebra_003_006 (Zadachi na reshenie kvadratnyh uravnenij cherez polovinnyj diskriminant)

Object description Switch object description to full mode

1) 3 ∗ x^2 − 20 ∗ x + 12 = 0
2) 5 ∗ x^2 + 22 ∗ x − 15 = 0

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 13 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

42	elem_algebra_003_005 ((!!!) Формулы чётного коэффициента b) elem_algebra_003_005 ((!!!) Formuly chetnogo koefficienta b)

Object description Switch object description to full mode

Вывести формулу решения квадратного уравнения в случае, если коэффициент b - чётный, т.е. b=2k
a ∗ x^2 + 2k ∗ x + c = 0

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 13 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

43	elem_algebra_003_004 (Задачи на решение квадратных уравнений через дискриминант) elem_algebra_003_004 (Zadachi na reshenie kvadratnyh uravnenij cherez diskriminant)

Object description Switch object description to full mode

1) 2 ∗ x^2 − 3 ∗ x − 5 = 0
2) −x^2 + 0.1 = 0.9 ∗ x
3) 2 ∗ x^2 − 10 ∗ x + 90 = 0
4) Решить уравнение золотого сечения x^2 − 3 ∗ x + 1 = 0

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 14 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

44	elem_algebra_003_003 ((!!!) Дискриминант) elem_algebra_003_003 ((!!!) Diskriminant)

Object description Switch object description to full mode

1) Понять, что такое дискриминант и откуда он такой берётся
D = b^2 − 4ac
2) Понять как и почему от значения дискриминанта зависит количество и состав корней уравнения

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 11 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

45	elem_algebra_003_002 (Решить уравнение без использования формулы дискриминанта и прочих умных теорем) elem_algebra_003_002

Object description Switch object description to full mode

Для решения нижеизложенных уравнений да помогут вам 2-е великие формулы
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
x^2 − y^2 = (x + y)(x − y)

1) x^2 + 2 ∗ x + 1 = 0
2) x^2 − 6 ∗ x + 9 = 0
3) x^2 10 ∗ x + 25 = 0
....

Operation

Groups of object

System properties 8 Number of open properties

User properties 39 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

46	elem_algebra_003_001 (Задачи, приводящие к квадратным уравнениям) elem_algebra_003_001

Object description Switch object description to full mode

1) Геометрия прямоугольного треугольника
Дан прямоугольный треугольный со сторонами, x+1, x+2, x+3
Найти длины сторон данного треугольника.

2) (*) Золотое сечение - деление целого на две части так, что меньшая относи....

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 15 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

47	elem_algebra_002_015 (()Доказать, что значение выражения кратно 10) elem_algebra_002_015 (()Dokazat, chto znachenie vyrazheniya kratno 10)

Object description Switch object description to full mode

Доказать, что значение выражения
96^7 − 22^5 − 48^6 кратно 10

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 11 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

48	elem_algebra_002_014 (()Сколько рациональных слагаемых содержится в разложении) elem_algebra_002_014 (()Skolko racionalnyh slagaemyh soderzhitsya v razlozhenii)

Object description Switch object description to full mode

(*)Сколько рациональных слагаемых содержится в разложении
а) ( √2 + 3^[1/4])^100 = ...
б) ( √2 + 3^[1/3])^300 = ...

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 11 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

49	elem_algebra_002_013 (Рождение иррациональных чисел) elem_algebra_002_013 (Rozhdenie irracionalnyh chisel)

Object description Switch object description to full mode

Рождение иррациональных чисел

Рассмотрите квадрат со стороной один. Найдите длину его диагонали.
Докажите, что длина диагонали квадрата - число иррациональное (не представимо в виде p/q , где p - целое, q - натуральное)

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 14 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

50	elem_algebra_002_012 (()()() Великая теорема Ферма) elem_algebra_002_012 (()()() Velikaya teorema Ferma)

Object description Switch object description to full mode

(*)(*)(*) Великая теорема Ферма

a) x^3 + y^3 = z^3 , не имеет решений в целых числах
б) x^4 + y^4 = z^4 , не имеет решений в целых числах
в) x^n + y^n = z^n , где n>2 не имеет решений в целых числах

Operation

Groups of object

System properties 6 Number of open properties

User properties 16 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

51	elem_algebra_002_011 (Целые числа, удовлетворяющие равенству x^2 y^2 = z^2 называются пифагоровы тройки) elem_algebra_002_011 (Celye chisla, udovletvoryayushie ravenstvu x2 y2 = z2 nazyvayutsya pifagorovy trojki)

Object description Switch object description to full mode

Целые числа, удовлетворяющие равенству x^2 + y^2 = z^2 называются пифагоровы тройки

Пифагоровы тройки можно получить из следующего равенства, подставляя различные m и n
(m^2 − n^2 )^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2 )^2

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 14 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

52	elem_algebra_002_010 (()Докажите обратную теорему Пифагора: если квадрат гипотенузы равне сумме квадратов катетов, то треугольник прямоугольный) elem_algebra_002_010 (()Dokazhite obratnuyu teoremu Pifagora: esli kvadrat gipotenuzy ravne summe kvadratov katetov, to treugolnik pryamougolnyj)

Object description Switch object description to full mode

(*)Докажите обратную теорему Пифагора: если квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то треугольник прямоугольный
Замечание: Эта теорема нужна, чтобы строить прямой угол в природе.
Например, достаточно взять 3 палки с длинами 3,4,5, тогда 3^2 + 4....

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 15 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

53	elem_algebra_002_009 (Прямая теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) elem_algebra_002_009 (Pryamaya teorema Pifagora: v pryamougolnom treugolnike kvadrat gipotenuzy raven summe kvadratov katetov)

Object description Switch object description to full mode

Докажите прямую теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (самой длиной его стороны) равен сумме квадратов катетов
Укзание: смотри! рис 1.

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 19 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

54	elem_algebra_002_008 (() Докажите, что сумма коэффициентов на чётных местах равна сумме коэффициентов на нечётных местах) elem_algebra_002_008 (() Dokazhite, chto summa koefficientov na chetnyh mestah ravna summe koefficientov na nechetnyh mestah)

Object description Switch object description to full mode

(*) Докажите, что сумма коэффициентов на чётных местах равна сумме коэффициентов на нечётных местах

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 15 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

55	elem_algebra_002_007 ( () Подсчитать сумму биномиальных коэффициентов) elem_algebra_002_007 ( () Podschitat summu binomialnyh koefficientov)

Object description Switch object description to full mode

(*) Подсчитать сумму биномиальных коэффициентов в разложении Бинома Ньютона (когда имеется в виду сумма в n-ой степени)

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 15 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

56	elem_algebra_002_006 () Докажите, почему биномиальные закономерности РАБОТАЮТ elem_algebra_002_006 () Dokazhite, pochemu binomialnye zakonomernosti RABOTAYuT

Object description Switch object description to full mode

Докажите, ПОЧЕМУ закономерности из пункта 4) РАБОТАЮТ

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 15 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

57	elem_algebra_002_005 Бином Ньютона elem_algebra_002_005 Binom Nyutona

Object description Switch object description to full mode

Используя обнаруженные закономерности выпишите разложения
1) (a + b)^6 = ...
2) (a − b)^7 = ...
Замечание: разложения вида (a + b)^n = ... называется БИНОМ НЬЮТОНА

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 15 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

58	elem_algebra_002_004 Выпишите друг под другом разложения 1-ой, 2-ой, 3-ей, 4-ой и 5-ой степеней суммы двух слагаемых elem_algebra_002_004 Vypishite drug pod drugom razlozheniya 1-oj, 2-oj, 3-ej, 4-oj i 5-oj stepenej summy dvuh slagaemyh

Object description Switch object description to full mode

Выпишите друг под другом разложения 1-ой, 2-ой, 3-ей, 4-ой и 5-ой степеней суммы двух слагаемых

1)Поймите закономерность поведения коэффициентов указанных разложений (Для этого ещё раз выпишите отдельно только коэффициенты указанных разложений).

2)П....

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 15 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

59	elem_algebra_002_003 Четырехмерный куб elem_algebra_002_003 Chetyrehmernyj kub

Object description Switch object description to full mode

Найдите, чему равно
(a + b)^4 =
Наблюдение:
Заметьте себе, что геометрический смысл равенства для четвёртой степени - это объём четырёхмерного куба. Там наше воображение отказывается нам помогать, а алгебраически по-прежнему можно посчитать!

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 16 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

60	elem_algebra_002_002 Куб суммы геометрически elem_algebra_002_002 Kub summy geometricheski

Object description Switch object description to full mode

Докажите равенство геометрически
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 16 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

61	elem_algebra_002_001 Квадрат суммы геометрически elem_algebra_002_001 Kvadrat summy geometricheski

Object description Switch object description to full mode

Докажите равенство геометрически
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Подсказка:
Рассмотрите квадрат со стороной a + b и посчитайте его площадь двумя способами: целиком и по частям

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 16 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

62	elem_algebra_001_013 Волшебный автомат elem_algebra_001_013 Volshebnyj avtomat

Object description Switch object description to full mode

Волшебный автомат
В четырёх ячейках памяти игрального автомата записаны числа a, b, c,d. Автомат может сложить или вычесть два числа (бесплатно) или перемножить их (за 1 рубль); результат он записывает в новую ячейку. Может ли игрок, потратив всего три р....

Operation

Groups of object

System properties 5 Number of open properties

User properties 18 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

63	elem_algebra_001_012 Некоторые более сложные примеры elem_algebra_001_012 Nekotorye bolee slozhnye primery

Object description Switch object description to full mode

Некоторые более сложные примеры

Разложить на множители
1)(*) x^4 + 4 = ...
2)(*) 2bc + a^2 − b^2 − c^2 = ...
3)(*) x^4 − 21x^2 + 4 = ...
4)(**) x^3 + y^3 + z^3 − 3xyz = ...
5)(*) (x + y + z)^3 − ....

Operation

Groups of object

System properties 25 Number of open properties

User properties 100 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

64	elem_algebra_001_011 Куб суммы и разности elem_algebra_001_011 Kub summy i raznosti

Object description Switch object description to full mode

Куб суммы и разности
1)(!!!) x^3 + 3x^2y + 3y^2x + y^3 = ...
2)(!!!) x^3 − 3x^2y + 3xy^2 − y^3 = ...

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 21 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

65	elem_algebra_001_010 (Метод группировки с добавлением фиктивных слагаемых для СУММ КВАДРАТОВ) elem_algebra_001_010 (Metod gruppirovki s dobavleniem fiktivnyh slagaemyh dlya SUMM KVADRATOV)

Object description Switch object description to full mode

Метод группировки с добавлением фиктивных (виртуальных) слагаемых для СУММ КВАДРАТОВ

1)Докажите, что произведение суммы 2-х квадратов на сумму 2-х квадратов есть снова сумма 2-х квадратов, т.е.
(a^2 + b^2 )(x^2 + y^2 ) = (?_1)^2 + (?_2)^2
например, вот так:
(17^2 + 3^2 )(8^2 + 11^2 ) = 103^2 + 211^2
Подсказка: квадраты конструировать с помощью формул
a^2 + 2 ∗ a ∗ b + b^2 = (a + b)^2

2)(*)Докажите, что произведение суммы 4-х квадратов на сумму 4-х квадратов есть снова сумма 4-х квадратов, т.е.
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 )(x^2 + y^2 + z^2 + p^2 ) = (?_1)^2 + (?_2)^2 + (?_3)^2 + (?_4)^2
Подсказка: квадраты конструировать с помощью формул
a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd = (a + b + c + d)^2

3)(**)Докажите, что произведение суммы 8-и квадратов на сумму 8-и квадратов есть снова сумма 8-и квадратов, т.е.
(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + u^2 + t^2 + s^2 )(x^2 + y^2 + z^2 + p^2 + k^2 + j^2 + n^2 + m^2 ) = (?_1)^2 + (?_2)^2 + (?_3)^2 + (?_4)^2 + (?_5)^2 + (?_6)^2 + (?_7)^2 + (?_8)^2
Подсказка: квадраты конструировать с помощью формул
(a + b + c + d + e + f + g + h)^2 = ...

Примечание 1:
Для 16-и квадратов неверно.
Примечание 2:
Формулы из задачи 10 можно доказать легче, чем с помощью группировки - с помощью гиперкомплексных чисел. Случай 2-х квадратов - комплексные числа, 4-х - кватернионы, 8-и - октавы.
Примечание 3:
Теорема о невозможности 16-и: теорема Фробениуса

Operation

Groups of object

System properties 8 Number of open properties

User properties 39 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

66	elem_algebra_001_009 Метод группировки с добавлением фиктивных слагаемых elem_algebra_001_009 Metod gruppirovki s dobavleniem fiktivnyh slagaemyh

Object description Switch object description to full mode

Метод группировки с добавлением фиктивных (виртуальных) слагаемых для разложения на множители: надо прибавить и отнять одно и то же искуственно придуманное слагаемое, чтобы с ними возможно было проделать обычный метод группировки
1)(!!!)x^2 − y^2 = ... (Разность кв....

Operation

Groups of object

System properties 8 Number of open properties

User properties 36 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

67	elem_algebra_001_008 (!!!)Квадрат суммы и разности (разложить на множители методом группировки) elem_algebra_001_008 (!!!)Kvadrat summy i raznosti (razlozhit na mnozhiteli metodom gruppirovki)

Object description Switch object description to full mode

(!!!)Квадрат суммы и разности (разложить на множители методом группировки)
1) x^2 + 2xy + y^2 = ...
2) x^2 − 2xy + y^2 = ...
3) a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = ...

Operation

Groups of object

System properties 6 Number of open properties

User properties 28 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

68	elem_algebra_001_007 Метод группировки для разложения на множители elem_algebra_001_007 Metod gruppirovki dlya razlozheniya na mnozhiteli

Object description Switch object description to full mode

Метод группировки для разложения на множители
1) ax + 2yb + xb + 2ya=...
2) 14xy-15-21x + 10y=...
3) 2az + z-4a + zb-2-2b=...

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 26 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

69	elem_algebra_001_006 Разложение на множители elem_algebra_001_006 Razlozhenie na mnozhiteli

Object description Switch object description to full mode

Разложение на множители
1) 5x^2y + 2yx^2z = ...
2) 8a^2b^3c + 3a^2cb^2 − b^3a^2c = ...
3) a^−5 + a^−3 = ...

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 26 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

70	elem_algebra_001_005 Раскрытие скобок и приведение подобных elem_algebra_001_005 Raskrytie skobok i privedenie podobnyh

Object description Switch object description to full mode

Раскрытие скобок и приведение подобных
1) (2a + b)(5b − 8a) = ...
2) (−2a + b − 2ab)(11a − 3ab) = ...

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 26 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

71	elem_algebra_001_004 Привести подобные слагаемые elem_algebra_001_004 Privesti podobnye slagaemye

Object description Switch object description to full mode

Привести подобные слагаемые
1)2a + b − a + 10b + 1 = ...
2)7x−2y = ... (если буквенная часть не совпадает, то складывать нельзя)
3)5a^2b + 7 + x^2y − 8ba^2 + 10xy = ...

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 26 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

72	elem_algebra_001_003 Разложение на множители=приведение подобных elem_algebra_001_003 Razlozhenie na mnozhiteli=privedenie podobnyh

Object description Switch object description to full mode

Разложение на множители=приведение подобных
1) 7x − 3x = ... (этот вид разложения называется «приведение подобных слагаемых» , «подобными» называются одночлены с одинаковой буквенной частью)
2) 55x^127yz^2 − 8z^2yx^127 + yz^2x^127 = ...

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 26 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

73	elem_algebra_001_002 Раскрыть скобки elem_algebra_001_002 Raskryt skobki

Object description Switch object description to full mode

Раскрыть скобки
1) 5x(x − 2) = ...
2) (x^2 + 3xy)(2 + 7x + y) = ...

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 26 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

74	elem_algebra_001_001 (!!!)Распределительный закон elem_algebra_001_001 (!!!)Raspredelitelnyj zakon

Object description Switch object description to full mode

Докажите, обоснуйте равенство
a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c

Подсказки:
1) подставьте числа вместо букв и поймите, что происходит с числами
Подсказка: Подставьте, например, (5 + 3)*7=5*7 + 3*7 и поймите смысл указанного равенс....

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 26 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

75	myolimp21_04 Пятнашки myolimp21_04 Pyatnashki

Object description Switch object description to full mode

Расставьте числа так, чтобы они шли по порядку строчка за строчкой, а крайний нижний правый квадрат должен быть пустой.

Operation

Groups of object

OLIMP
21

System properties 2 Number of open properties

User properties 10 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

76	myolimp04_10 Спуск с горы myolimp04_10 Spusk s gory

Object description Switch object description to full mode

За Вами гонится лев. Вы находитесь на краю пропасти глубиной 1000 метров, прямо над пропастью и на высоте 500 метров от дна пропасти посреди скалы растет по прочному дереву. У Вас есть с собой веревка 900 метров и нож.
а) Вам нужно придумать, как спуститься на дно п....

Operation

Groups of object

OLIMP
04

System properties 4 Number of open properties

User properties 18 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

77	myolimp06_10 Точки myolimp06_10 Tochki

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

OLIMP
06

System properties 16 Number of open properties

User properties 16 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

78	myolimp06_09 Конверт myolimp06_09 Konvert

Object description Switch object description to full mode

Operation

Groups of object

OLIMP
06

System properties 4 Number of open properties

User properties 21 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

79	myolimp07_05 Расставьте числа 1,1,2,2,3,3,4,4 myolimp07_05 Rasstavte chisla 1,1,2,2,3,3,4,4

Object description Switch object description to full mode

Расставьте числа 1,1,2,2,3,3,4,4 в таком порядке, чтобы между единица-ми оказалась одна цифра, между двойками - две, между тройками - три, а между четвёрками - четыре цифры

Operation

Groups of object

OLIMP
07

System properties 4 Number of open properties

User properties 26 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

80	myolimp07_03 Мама положила на стол сливы myolimp07_03

Object description Switch object description to full mode

Мама положила на стол сливы и сказала детям, чтобы они, вернувшись из школы, разделили их поровну. Первой пришла Аня, взяла треть слив и ушла. Потом вернулся из школы Боря, взял треть оставшихся слив и ушёл. Затем пришёл Витя и взял 4 сливы - треть от числа слив, которы....

Operation

Groups of object

OLIMP
07

System properties 4 Number of open properties

User properties 8 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

81	myolimp07_02 Алёша задумал число myolimp07_02

Object description Switch object description to full mode

Алёша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алёша?

Operation

Groups of object

OLIMP
07

System properties 4 Number of open properties

User properties 8 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

82	myolimp04_04 Отгадайте закономерность (Задача для 1-ого класса) myolimp04_04 Otgadajte zakonomernost (Zadacha dlya 1-ogo klassa)

Object description Switch object description to full mode

Отгадайте закономерность
101 1
181 2
286 3
898 ?

Operation

Groups of object

OLIMP
04

System properties 4 Number of open properties

User properties 31 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

83	myolimp04_01 Сумма Гаусса myolimp04_01 Summa Gaussa

Object description Switch object description to full mode

Вычислить сумму 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + 97 + 98 + 99 + 100

Operation

Groups of object

OLIMP
04

System properties 4 Number of open properties

User properties 20 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

84	myolimp03_05 Ночь. Мальчик, папа, мама и бабушка myolimp03_05 Noch. Malchik, papa, mama i babushka

Object description Switch object description to full mode

Ночь. Мальчик, папа, мама и бабушка находятся на одном берегу реки и хотят перейти по мосту на другой берег. Они имеют при себе 1 фонарик. По мосту могут идти максимум двое (обязательно с фонариком. Папа способен преодолеть мост за 1 минуту, мальчик за 2-е минуты, мама ....

Operation

Groups of object

OLIMP
03

System properties 10 Number of open properties

User properties 35 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

85	myolimp03_04 Люди и собаки myolimp03_04 Lyudi i sobaki

Object description Switch object description to full mode

а) В семье 5 голов и 14 ног. Сколько из них людей, а сколько собак?

б) В семье 82 головы и 294 ноги. Сколько из них людей, а сколько собак?

Operation

Groups of object

OLIMP
03

System properties 4 Number of open properties

User properties 28 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

86	myolimp02_10 Озеро в Южной Америке myolimp02_10 Ozero v Yuzhnoj Amerike

Object description Switch object description to full mode

В Южной Америке есть круглое озеро, где 1 июня каждого года в цен- тре озера появляется цветок Виктории Регии (стебель поднимается со дна, а лепестки лежат на воде, как у кувшинки). Каждые сутки площадь цветка увеличивается вдвое, и 1 июля он, наконец, покрывает всё озе....

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 28 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

87	myolimp02_07 Кусок мыла myolimp02_07 Kusok myla

Object description Switch object description to full mode

После 7 стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 28 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

88	myolimp02_06 Разрезание круглого торта myolimp02_06 Razrezanie kruglogo torta

Object description Switch object description to full mode

Как тремя прямолинейными разрезами разделить круглый торт на а) семь, б) восемь частей?

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 30 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

89	myolimp02_03 Охотник у палатки myolimp02_03 Ohotnik u palatki

Object description Switch object description to full mode

Охотник прошёл от своей палатки 10 км на юг, повернул на восток, прошёл прямо на восток ещё 10 км, убил медведя, повернул на север и, пройдя ещё 10 км, оказался у палатки. Какого цвета был медведь и где всё это было?

Operation

Groups of object

System properties 18 Number of open properties

User properties 26 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

90	myolimp02_02 Сестры и браться Васи myolimp02_02 Sestry i bratsya Vasi

Object description Switch object description to full mode

У Васи сестёр на 2 больше, чем братьев. На сколько у Васиных родите- лей больше дочерей, чем сыновей?

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 24 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

91	myolimp01_07 Волк, коза и капуста myolimp01_07 Volk, koza i kapusta

Object description Switch object description to full mode

Волк, коза и капуста должны быть перевезены мужиком через реку в лодке, но лодка столь мала, что он может брать с собой только один из трёх грузов. Как перевезти все три груза (волка нельзя оставлять наедине с козой, а козу - с капустой) через реку?

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 38 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

92	myolimp01_06 Ручей и 2 ведра 15 и 16 литров myolimp01_06 Ruchej i 2 vedra 15 i 16 litrov

Object description Switch object description to full mode

Можно ли отмерить 8 литров воды, находясь у ручья и имея два ведра вместимостью 15 литров и 16 литров соответственно?

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 32 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

93	myolimp01_05 Разрезать квадрат на 5 прямоугольников myolimp01_05 Razrezat kvadrat na 5 pryamougolnikov

Object description Switch object description to full mode

Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников, никакие два из которых не имеют общей стороны

Operation

Groups of object

System properties 7 Number of open properties

User properties 33 Number of open properties

Foto

	0
	0

Name

94	myolimp01_03 Кирпич myolimp01_03 Kirpich

Object description Switch object description to full mode

Кирпич весит килограмм и полкирпича. Сколько весит кирпич?

Operation

Groups of object

System properties 4 Number of open properties

User properties 40 Number of open properties

Foto

	1
	0

Name

95	myolimp01_02 Бутылка с пробкой myolimp01_02 Butylka s probkoj

Object description Switch object description to full mode

Бутылка с пробкой стоит 10 рублей, причём бутылка на 9 рублей дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?

Operation

Groups of object

System properties 6 Number of open properties

User properties 41 Number of open properties

Foto

	1
	0

Name

96	myolimp01_01 Маша и букварь myolimp01_01 Masha i bukvar

Object description Switch object description to full mode

У Маши не хватало для покупки букваря семи копеек, а у Миши одной копейки. Они сложились, чтобы купить один букварь на двоих, но денег всё равно не хватило. Сколько стоил букварь?

Operation

Groups of object