Уравнение с параметрами
x^4 − 3x^2 + 2(a − 1)x + 2a − a^2 = 0

Уравнение с параметрами
x^4 − 3x^2 + 2(a − 1)x + 2a − a^2 = 0

Сдвиг оси
(6x 5)^2(3x + 2)(x + 1) = 35

Сдвиг оси
(6x 5)^2(3x + 2)(x + 1) = 35

Замена
1) (x^2 − 6x)^2 − 2(x − 3)^2 = 81
2) (x^2 − 2x)^2 − 3x^2 + 6x − 4 = 0
3) (2x^2 + 3x − 1)^2 − 10x^2 − 15x + 9 = 0
4) (x^2 − 3x)^2 − 14x^2 + 42x + 40 = 0

Замена
1) (x^2 − 6x)^2 − 2(x − 3)^2 = 81
2) (x^2 − 2x)^2 − 3x^2 + 6x − 4 = 0
3) (2x^2 + 3x − 1)^2 − 10x^2 − 15x + 9 = 0
4) (x^2 − 3x)^2 − 14x^2 + 42x + 40 = 0

Обобщённая Теорема Виетта

Обобщённая Теорема Виетта

Деление на x^2
1) (2x^2 − 3x + 1)(2x^2 + 5x + 1) = 9x^2
2) (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x^2

Деление на x^2
1) (2x^2 − 3x + 1)(2x^2 + 5x + 1) = 9x^2
2) (x + 2)(x + 3)(x + 8)(x + 12) = 4x^2

Схема Горнера [нахождение остатка от деления многочлена P(x) на (x-a) без самого деления)]
x^3 − 3x − 2 = 0

Схема Горнера [нахождение остатка от деления многочлена P(x) на (x-a) без самого деления)]
x^3 − 3x − 2 = 0

Рациональные корни многочлена

Формулировка
В многочлене вида A_nx^n + A_n−1x^n−1 + ... + A_1x^1 + A_0 = 0, A_n! = 0 Рациональные корни следует искать только среди чисел вида или - B_0/B_n, где B_0 - делитель A_0 и B_n - делитель A_n....

Рациональные корни многочлена

Формулировка
В многочлене вида A_nx^n + A_n−1x^n−1 + ... + A_1x^1 + A_0 = 0, A_n! = 0 Рациональные корни следует искать только среди чисел вида или - B_0/B_n, где B_0 - делитель A_0 и B_n - делитель A_n

Доказательство

Лемма 1
Если приведенное уравнение x^n + k_n−1x^n−1 + ... + k_1x^1 + k_0 = 0 имеет целый корень, то он обязательно будет делителем свободного члена k_n

Лемма 2
Приведенное уравнение x^n + k_n−1x^n−1 + ... + k_1x^1 + k_0 = 0 не может иметь ни одного дробного корня.

Задача 1
Найти рациональные корни многочленов
1) 2x^3 − 7x^2 + 5x − 1 = 0
2) x^3 − 3x − 2 = 0

Задача 2
Решить уравнения УГОЛКОМ
1) x^4 − 27x^2 − 14x + 120 = 0
2) x^4 − 5x^3 + 10x^2 − 10x + 4 = 0
3) x^4 − 4x^2 + 6x − 4 = 0

Теорема Безу и деление в столбик многочленов
Формулировка:
При делении многочлена n-ой степени относительно x, расположенного по убывающим степени x, на двучлен (x-a) остаток от деления равен значению делимого при x=a Доказательство:
Поделим многочлен P(x....

Теорема Безу и деление в столбик многочленов
Формулировка:
При делении многочлена n-ой степени относительно x, расположенного по убывающим степени x, на двучлен (x-a) остаток от деления равен значению делимого при x=a Доказательство:
Поделим многочлен P(x) на (x-a), получим P(x)=(x-a)Q(x) R(x), но R(x) имеет степень меньше многочлена (x-a) в силу того, что R(x) - остаток.(иначе кусок R(x) можно было бы включить в Q(x).
А значит R(x) -просто число. Подставляем x=a в формулу P(x)=(x-a)Q(x) R(x), получаем P(a)=(a-a)Q(x) R=R, теорема доказана
Задача 1

Найти остаток от деления x^3 + 5x^2 − 6x − 6 = 0 на двучлен (x-2)
а) уголком
б) по теореме Безу
Следствия из теоремы Безу
I. Если многочлен делится без остатка на (x-a), то a-корень этого многочлена
II. Если a-корень многочлена, то он обязательно делится без остатка на (x-a)
Задача 2

Используя Следствие II из теоремы Безу решить следующие задачи (разложить на множители) ИЗ ПЕРВОГО ЛИСТКА
1) (x^2
2xy
y^2)
2) (x^2 − 2xy
y^2)
3) (x^2 − y^2)
4) (x^3 − y^3)
5) (x^3 + y^3)
6) (x^5 − y^5) 7) (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3)

Однородные уравнения

Однородные уравнения - это уравнения, все члены которых имеют одинаковую степень,а справа 0.
Уравнение вида Au^2 + Buv + Cv^2 = 0 называется однородным уравнением II-ой степени относительно U и V.
Проверяем возможность д....

Однородные уравнения

Однородные уравнения - это уравнения, все члены которых имеют одинаковую степень,а справа 0.
Уравнение вида Au^2 + Buv + Cv^2 = 0 называется однородным уравнением II-ой степени относительно U и V.
Проверяем возможность деления на U и V.
Делим на U^2(V^2)
AU^2 + BUV + CV^2 = 0 делим на U^2(U! = 0), получаем
A + BV/U + CV^2/U^2 = 0
Пусть V/U = y, тогда V^2/U^2 = y^2, получаем ур-ие:
A + By + Cy^2 = 0
Обратная замена
Задачи на однородные уравнения
1) (x^2 − x + 1)^4 − 10x^2(x^2 − x + 1)^2 + 9x^4 = 0
2) 2(x − 1)^4 − 5(x^2 − 3x + 2)^2 + 2(x − 2)^4 = 0

Возвратные уравнения 4-ой степени
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0
если e/a = ( d/b)^2, то делим уравнение на x^2 и делаем замену
1) x^4 − 7x^3 + 14x^2 − 7x + 1 = 0
2) 18x^4 − 3x^3 − 25x^2 + 2x + 8 = 0

Возвратные уравнения 4-ой степени
ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0
если e/a = ( d/b)^2, то делим уравнение на x^2 и делаем замену
1) x^4 − 7x^3 + 14x^2 − 7x + 1 = 0
2) 18x^4 − 3x^3 − 25x^2 + 2x + 8 = 0

Разбиение отдельных членов на слагаемые (как буквенных,так и числовых)
1) x^3 + 1991x + 1992 = 0
2) x^3 − 3x^2 + 2 = 0
3) x^4 − x^3 − 13x^2 + x + 12 = 0
4) x^3 + 4x^2 − 5 = 0
5) x^4 − x^3 − 7x^2 + x + 6 =....

Разбиение отдельных членов на слагаемые (как буквенных,так и числовых)
1) x^3 + 1991x + 1992 = 0
2) x^3 − 3x^2 + 2 = 0
3) x^4 − x^3 − 13x^2 + x + 12 = 0
4) x^3 + 4x^2 − 5 = 0
5) x^4 − x^3 − 7x^2 + x + 6 = 0

Биквадратные уравнения
1) 25x^4 + 66x^2 − 27 = 0
2) x^6 + 9x^3 + 8 = 0

Биквадратные уравнения
1) 25x^4 + 66x^2 − 27 = 0
2) x^6 + 9x^3 + 8 = 0

Перемножалка
1) (x^2 − 3x)(x − 1)(x − 2) = 24
2) (x^2 − 5x)(x + 3)(x − 8) + 108 = 0
3) (x + 4)^2(x + 10)(x − 2) + 243 = 0
4) x(x + 3)(x + 5)(x + 8) + 56 = 0
5) (x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6) = 1680 ....

Перемножалка
1) (x^2 − 3x)(x − 1)(x − 2) = 24
2) (x^2 − 5x)(x + 3)(x − 8) + 108 = 0
3) (x + 4)^2(x + 10)(x − 2) + 243 = 0
4) x(x + 3)(x + 5)(x + 8) + 56 = 0
5) (x − 3)(x − 4)(x − 5)(x − 6) = 1680
6) (x − 2)(x − 3)^2(x − 4) = 20
7) (x − 4)(x − 3)(x − 2)(x − 1) = 24

Разложение на множители квадратных трёхчленов
1) (x^2 + 4x)(x^2 + x - 6)=(x^3 - 9x)(x^2 + 2x - 8)
2) (x^2 + 5x)(x^2 - 3x - 28)=(x^3 - 16x)(x^2 - 2x - 35)

Разложение на множители квадратных трёхчленов
1) (x^2 + 4x)(x^2 + x - 6)=(x^3 - 9x)(x^2 + 2x - 8)
2) (x^2 + 5x)(x^2 - 3x - 28)=(x^3 - 16x)(x^2 - 2x - 35)

Сворачивание кубов
1) 28x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0
2) 126x^3 − 3x^2 + 3x − 1 = 0

Сворачивание кубов
1) 28x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0
2) 126x^3 − 3x^2 + 3x − 1 = 0

Раскрытие квадратов
(x + 1)^2(x + 2) + (x − 1)^2(x − 2) = 12

Раскрытие квадратов
(x + 1)^2(x + 2) + (x − 1)^2(x − 2) = 12

Группировка
1) x^3 + x^2 − 4x − 4 = 0
2) 3x^3 + 5x^2 + 5x 3 = 0
3) x^4 + 2x^3 − x − 2 = 0
4) x^3 − x^2 − 81x + 81 = 0
5) x^3 + 3x^2 − 16x − 48 = 0
6) 2x^4 3x^3 + 16x + 24 = 0
7) 24x^4 ....

Группировка
1) x^3 + x^2 − 4x − 4 = 0
2) 3x^3 + 5x^2 + 5x 3 = 0
3) x^4 + 2x^3 − x − 2 = 0
4) x^3 − x^2 − 81x + 81 = 0
5) x^3 + 3x^2 − 16x − 48 = 0
6) 2x^4 3x^3 + 16x + 24 = 0
7) 24x^4 + 16x^3 − 3x − 2 = 0
8) x^3 + 5x^2 + 15x + 27 = 0
9) 8x^3 − 6x^2 + 3x − 1 = 0

Многочлены Лагрвнжа
Придумать Многочлен, проходящий через n заданных точек.
Решить задачу для 3-х точек
(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)
Подсказка1
f(x_1) = y_1, f(x_2) = y_2, f(x_3) = y_3
Подсказка2
Сочините сумму 3-х слагаемых так....

Многочлены Лагрвнжа
Придумать Многочлен, проходящий через n заданных точек.
Решить задачу для 3-х точек
(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)
Подсказка1
f(x_1) = y_1, f(x_2) = y_2, f(x_3) = y_3
Подсказка2
Сочините сумму 3-х слагаемых так, что
при x = x_1 зануляются 2-ое и 3-ье слагаемые,
при x = x_2 зануляются 1-ое и 3-ье слагаемые,
при x = x_3 зануляются 1-ое и 2-ое слагаемые,

Квадратичная общего вида y = a ∗ x^2 + b ∗ x + c

Квадратичная общего вида y = a ∗ x^2 + b ∗ x + c

Параметры квадратного уравнения
1) Поведение графика в зависимости от параметра А
2) Раствор ветвей параболы в зависимости от абсолютной величины А
3) Положение графика в зависимости от дискриминанта
4) Точки пересечения параболы с осями
5) Коо....

Параметры квадратного уравнения
1) Поведение графика в зависимости от параметра А
2) Раствор ветвей параболы в зависимости от абсолютной величины А
3) Положение графика в зависимости от дискриминанта
4) Точки пересечения параболы с осями
5) Координаты вершины параболы

Квадратичная вида y = a ∗ (x + b)^2 + c

Квадратичная вида y = a ∗ (x + b)^2 + c

Квадратичная вида y = a ∗ (x + c)^2

Квадратичная вида y = a ∗ (x + c)^2

Квадратичная вида y = a ∗ x^2 + c

Квадратичная вида y = a ∗ x^2 + c

Квадратичная вида y = a ∗ x^2

1) Построить график функции y = x^2
2) Построить график функции y = −x^2
3) Построить график функции y = 2 ∗ x^2
4) Построить график функции y = 0.5 ∗ x^2

Квадратичная вида y = a ∗ x^2

1) Построить график функции y = x^2
2) Построить график функции y = −x^2
3) Построить график функции y = 2 ∗ x^2
4) Построить график функции y = 0.5 ∗ x^2

1) Доказать, что уравнение y = ax + b задаёт прямую
1.1) Исследовать y = b
1.2) Исследовать y = a ∗ x
Подсказка: прирост функции по X пропорционален приросту по Y
2) Написать уравнения прямой, проходящей через 2-е заданные точки
2.1) Поняти....

1) Доказать, что уравнение y = ax + b задаёт прямую
1.1) Исследовать y = b
1.2) Исследовать y = a ∗ x
Подсказка: прирост функции по X пропорционален приросту по Y
2) Написать уравнения прямой, проходящей через 2-е заданные точки
2.1) Понятие вектора. Вектор - это путь точки безотносительно точки приложения. Вектор - это множество всех одинаково направленных отрезков одинаковой длины.
2.2) Сложение векторов по правилу треугольника и параллелограмма
2.3) Примеры других объектов, которые можно складывать
2.4) Координаты вектора, сложение векторов в координатах
2.5) Умножение вектора на число, умножение векторов в координатах
3) Общий вид уравнения прямой Ax + By + C = 0

ЗАМЕЧАНИЕ: Нельзя разложить на множители выражения следующего вида
1) a + b
2) a − b
3) a^2 + b^2 (сумму квадратов и вообще сумму чётных степеней)
4) a^2 + ab b^2 (неполный квадрат суммы)
5) a^2 − ab + b^2 (неполный....

ЗАМЕЧАНИЕ: Нельзя разложить на множители выражения следующего вида
1) a + b
2) a − b
3) a^2 + b^2 (сумму квадратов и вообще сумму чётных степеней)
4) a^2 + ab b^2 (неполный квадрат суммы)
5) a^2 − ab + b^2 (неполный квадрат разности)
6) a^2 + b^3

Волшебный автомат
В четырёх ячейках памяти игрального автомата записаны числа a, b, c,d. Автомат может сложить или вычесть два числа (бесплатно) или перемножить их (за 1 рубль); результат он записывает в новую ячейку. Может ли игрок, потратив всего три р....

Волшебный автомат
В четырёх ячейках памяти игрального автомата записаны числа a, b, c,d. Автомат может сложить или вычесть два числа (бесплатно) или перемножить их (за 1 рубль); результат он записывает в новую ячейку. Может ли игрок, потратив всего три рубля, добиться того, что каких-то трёх ячейках будут записаны числа 2(ab + cd), 2(ac + bd) и 2(ad + bc)? (Исходные числа игроку неизвестны).

Некоторые более сложные примеры

Разложить на множители
1)(*) x^4 + 4 = ...
2)(*) 2bc + a^2 − b^2 − c^2 = ...
3)(*) x^4 − 21x^2 + 4 = ...
4)(**) x^3 + y^3 + z^3 − 3xyz = ...
5)(*) (x + y + z)^3 − ....

Некоторые более сложные примеры

Разложить на множители
1)(*) x^4 + 4 = ...
2)(*) 2bc + a^2 − b^2 − c^2 = ...
3)(*) x^4 − 21x^2 + 4 = ...
4)(**) x^3 + y^3 + z^3 − 3xyz = ...
5)(*) (x + y + z)^3 − x^3 − y^3 − z^3 = ...
6)(*) x^4 + x^2y^2 + y^4 = ...
7)(*) a^4 − 2a^3 + a^2 − 1 = ...
8)(*) c^8 − c^4 − 2c^2 − 1 = ...
9)(*) 8x^3 + y^3 + 6y^2 + 12y + 8 = ...

Куб суммы и разности
1)(!!!) x^3 + 3x^2y + 3y^2x + y^3 = ...
2)(!!!) x^3 − 3x^2y + 3xy^2 − y^3 = ...

Куб суммы и разности
1)(!!!) x^3 + 3x^2y + 3y^2x + y^3 = ...
2)(!!!) x^3 − 3x^2y + 3xy^2 − y^3 = ...

Метод группировки с добавлением фиктивных (виртуальных) слагаемых для разложения на множители: надо прибавить и отнять одно и то же искуственно придуманное слагаемое, чтобы с ними возможно было проделать обычный метод группировки
1)(!!!)x^2 − y^2 = ... (Разность кв....

Метод группировки с добавлением фиктивных (виртуальных) слагаемых для разложения на множители: надо прибавить и отнять одно и то же искуственно придуманное слагаемое, чтобы с ними возможно было проделать обычный метод группировки
1)(!!!)x^2 − y^2 = ... (Разность квадратов)
2)(!!!)x^3 − y^3 = ... (Разность кубов)
3)(!!!)x^3 + y^3 = ... (Сумма кубов)
4)(*)x^5 − y^5 = ... (Разность пятых степеней)

(!!!)Квадрат суммы и разности (разложить на множители методом группировки)
1) x^2 + 2xy + y^2 = ...
2) x^2 − 2xy + y^2 = ...
3) a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = ...

(!!!)Квадрат суммы и разности (разложить на множители методом группировки)
1) x^2 + 2xy + y^2 = ...
2) x^2 − 2xy + y^2 = ...
3) a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = ...

Метод группировки для разложения на множители
1) ax + 2yb + xb + 2ya=...
2) 14xy-15-21x + 10y=...
3) 2az + z-4a + zb-2-2b=...

Метод группировки для разложения на множители
1) ax + 2yb + xb + 2ya=...
2) 14xy-15-21x + 10y=...
3) 2az + z-4a + zb-2-2b=...

Разложение на множители
1) 5x^2y + 2yx^2z = ...
2) 8a^2b^3c + 3a^2cb^2 − b^3a^2c = ...
3) a^−5 + a^−3 = ...

Разложение на множители
1) 5x^2y + 2yx^2z = ...
2) 8a^2b^3c + 3a^2cb^2 − b^3a^2c = ...
3) a^−5 + a^−3 = ...